복잡도 1 다양체의 동치 자동군과 실형식

초록

본 논문은 연결된 환원 대수군 (G)가 작용하는 복잡도 1 (G)-다양체에 대해, 그 동치 자동군 (\operatorname{Aut}_G(X))가 특성 0인 완전체 위에서 국소 유한형 스킴으로 나타낼 수 있음을 증명한다. 또한 거의 동질(almost homogeneous)인 경우와 토러스 작용이 있는 경우를 포함한 여러 특수 상황에서 선형 대수군으로의 표현 가능성을 보이며, 이러한 가정 하에 실형식(Real forms)의 개수가 유한함을 얻는다.

상세 분석

논문은 먼저 (G)-다양체 (X)에 대한 동치 자동군을 군 셰이프 (\operatorname{Aut}_G(X)) 로 정의하고, 이 셰이프가 스무스 군 스킴으로 표현 가능한지를 조사한다. 기본적인 도구는 작은 스무스 사이트 위에서의 셰이프 이론과, 필터드 직접극한과의 교환성을 이용한 Lemma 2.1, Proposition 2.2이다. 이 결과들은 “(H)가 어떤 스무스 군 스킴 (G_0)와 점wise 동일하면 (H)는 (G_0)에 의해 대표된다”는 일반적인 원리를 제공한다.

다음으로 거의 동질(Almost homogeneous) 상황을 다룬다. 여기서는 (G)가 (X)에 조밀한 열린 궤도를 갖는 경우이며, 복잡도와 무관하게 (\operatorname{Aut}_G(X))가 스무스 선형 대수군으로 나타난다 (Theorem 1.1). 이는 기존의 구형 구면(spherical) 경우 결과를 일반화한 것으로, (G)의 복잡도가 높아도 자동군이 충분히 ‘선형’임을 보인다.

복잡도 1이면서 거의 동질이 아닌 경우는 두 가지 주요 구조적 도구를 사용한다. 첫째, Rosenlicht의 정리로부터 얻어지는 (G)-안정적인 열린 부분 (V\subset X)와 그에 대한 사상 (\theta:V\to C:=V/G) (여기서 (C)는 스무스 곡선)이다. 이 사상은 정확한 시퀀스

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