대규모 시스템을 위한 집합 기반 제어 장벽 함수와 안전 필터 설계

초록

본 논문은 선형 시스템의 제어 불변 집합을 활용해 Minkowski 함수로 정의한 집합 기반 제어 장벽 함수(CBF)를 제안한다. 이를 통해 스케일러블한 안전 필터를 구현하고, 경계 근처의 개입 강도를 조절하며, 외란에 대한 복구를 보장한다. 다차원 시뮬레이션과 전동 드라이브 실험을 통해 실시간 적용 가능성을 검증하였다.

상세 분석

이 연구는 산업용 제어 시스템에서 요구되는 고성능과 엄격한 제약 조건을 동시에 만족시키는 안전 메커니즘으로서, 기존 CBF와 집합 기반 안전 필터의 장점을 결합한 새로운 프레임워크를 제시한다. 핵심 아이디어는 제어 불변 집합 Ω 의 Minkowski 함수 γ_Ω(x) 를 이용해 h(x)=1−γ_Ω(x) 라는 스칼라 장벽 함수를 정의하는 것이다. 이 정의는 Ω가 볼록하고 원점을 내부에 포함하면 자동으로 CBF의 정의를 만족시키며, 안전 집합 S=Ω 와 정의역 D=S 를 제공한다.

제안된 CBF는 클래스 K 함수 α 를 통해 경계 근처의 감소 한계를 자유롭게 조정할 수 있어, 필터가 과도하게 개입하거나 지나치게 보수적이 되는 문제를 완화한다. 또한, 강인 제어 불변 집합 \tildeΩ 을 도입하고, \tildeΩ ⊖ W ⊆ ν\tildeΩ (ν∈(0,1)) 조건을 만족하도록 설계하면, 안전 집합 S=ν\tildeΩ 에 대한 비국소적인 복구 보장을 얻는다. 즉, 상태가 S 외부이지만 \tildeΩ 내에 있을 경우, 인위적인 외란 W 에 대한 강인성을 활용해 상태를 S 로 수렴시킬 수 있다.

이론적 결과는 두 가지 주요 정리로 정리된다. Proposition 2는 일반적인 제어 불변 집합으로부터 얻은 CBF가 전진 불변성과 경계 근처의 튜닝 가능성을 보장함을 증명한다. Theorem 1은 강인 불변 집합을 이용해 안전 집합의 비국소적인 asymptotic stability를 확보한다.

실제 구현 측면에서는, 다각형, 폴리토프, 줌토프, 그리고 MPC 기반의 피가능 집합 등 다양한 집합 표현에 대해 CBF 제약을 단일 레벨의 convex 최적화 문제로 변환하는 절차를 제시한다. 특히, 줌토프와 폴리토프는 선형 부등식 형태로 쉽게 표현 가능하며, MPC 피가능 집합은 기존의 재귀적 제약 만족 문제를 그대로 활용한다.

온라인 연산 부담을 줄이기 위해, 학습 기반 근사 모델을 도입하여 CBF 값을 빠르게 추정하면서도 안전성을 보장하는 방법을 제안한다. 이 학습 모델은 강인성 보장을 위한 보수적인 오프셋을 포함해, 실제 실행 시 기존 CBF와 동일한 제약을 만족하도록 설계된다.

시뮬레이션에서는 차원 20 이상의 고차원 시스템과 2‑D 로봇 이동 제어 과제를 통해, 제안 방법이 기존 집합 기반 필터보다 부드러운 개입과 빠른 복구를 제공함을 확인하였다. 실험에서는 전동 드라이브에 1 ms 샘플링으로 적용했으며, 제어 입력이 제한을 초과하려 할 때 필터가 즉시 보정하면서도 전체 성능 저하를 최소화하였다.

전체적으로 이 논문은 선형 시스템에 한정하지만, 볼록 제약을 갖는 대규모 문제에 대해 실시간 안전 보장을 제공하는 실용적인 도구를 제공한다. 향후 비선형 시스템이나 비볼록 제약으로의 확장은 추가 연구 과제로 남는다.