특이점 교란 임펄스 선형 스위치 시스템의 안정성 기준

초록

본 논문은 스위칭에 따라 느린 변수와 빠른 변수가 교대로 전환되는 특이점 교란(싱글러리 퍼터베이션) 임펄스 선형 스위치 시스템을 대상으로, 단일 시간 스케일로 변환한 보조 시스템의 안정성(또는 불안정성)이 원 시스템의 작은 교란 파라미터 ε 구간에서의 안정성을 직접 결정한다는 이론을 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 상태 행렬 Dεk가 대각 원소 1과 ε(ε>0)로 구성된 행렬이며, 스위치 신호 k↦(ℓk,Pk,Λk,Rk) 에 따라 느린 변수와 빠른 변수가 시간에 따라 바뀌는 시스템 Σε를 정의한다. 기존 특이점 교란 이론은 고정된 차원·고정된 시간‑스케일 전환을 전제로 하지만, 여기서는 스위칭에 따라 차원 자체가 변하고, 느·빠 변수의 구분도 모드마다 달라지는 복합 구조를 다룬다. 이를 해결하기 위해 저자들은 두 개의 보조 시스템 ¯Σ와 ˜Σ를 도입한다. ¯Σ는 모드 전환 시 발생하는 급격한 전이(transient) 효과를 무시하고 느린 동역학만을 단일 시간 스케일(ε=0)로 근사한 연속‑시간 임펄스 스위치 시스템이며, ˜Σ는 전이 효과를 점프 연산에 포함시켜 보다 정확한 근사를 제공한다. 두 시스템 모두 차원이 원 시스템보다 낮으며, 각각의 최대 Lyapunov 지수 λ(¯Σ), λ(˜Σ)를 계산하면 원 시스템 Σε의 지수 λ(Σε)와의 부등식

 λ(¯Σ) ≤ lim inf_{ε→0} λ(Σε) ≤ lim sup_{ε→0} λ(Σε) ≤ λ(˜Σ)

가 성립한다. 따라서 ¯Σ가 지수적으로 불안정(EU)하면 충분히 작은 ε에 대해 Σε도 EU이며, ˜Σ가 지수적으로 안정(ES)하면 충분히 작은 ε에 대해 Σε도 ES가 된다. 특히 dwell‑time 조건이 만족되어 스위칭이 느린 시간 스케일(1/ε)보다 충분히 천천히 일어날 경우, 전이 구간이 무시될 만큼 짧아 ¯Σ와 ˜Σ가 동일한 동작을 보이므로 λ(Σε)의 극한값을 정확히 λ(¯Σ)=λ(˜Σ)로 규정할 수 있다.

또한 전이 전용 보조 시스템 ˆΣ를 정의하여 λ(ˆΣ) ≤ max{0, lim inf_{ε→0} ελ(Σε)} 라는 추가 부등식을 얻는다. 이는 ε가 0에 접근함에 따라 λ(Σε)가 최소 1/ε 차원으로 성장할 수 있음을 시사한다. 논문은 이러한 결과를 증명하기 위해 기존 impulsive linear switched system에 대한 Lyapunov 지수 이론(Lemma 1,