그레이드된 카이리‑딕슨 구조와 초복소수의 비결합성 탐구

초록

본 논문은 카이리‑딕슨 과정을 ‘그레이드’ 표기법으로 재구성하여 연관성(associativity)을 세 종류, 비연관성(non‑associativity)을 네 종류로 체계화한다. 이를 통해 무앙 루프(Moufang) 항등식과 말체프(Mal’cev) 항등식을 단순화하고, 84의 배수로 나타나는 영제(divisor) 구조와 초복소수(ultracomplex)라는 새로운 용어를 제시한다. 또한 분할(spl​it) 세데논(sedenion) 대수에서 동일한 비연관성 패턴이 나타남을 보인다.

상세 분석

논문은 먼저 전통적인 카이리‑딕슨 구축식
((a,b)(c,d)=(ac-\varepsilon d^{}b,;da+bc^{}))
을 ‘그레이드’ 개념으로 재해석한다. 여기서 (A_n)는 (A_{n-1})의 두 복사본을 (\oplus)로 결합한 구조이며, 각 복사본은 차수 (k)‑그레이드 원소 (o_{\alpha}) 로 표시된다. 이때 (\alpha)는 인덱스 집합이며, 곱셈은 집합 XOR 연산 (\alpha\oplus\beta) 로 정의된다. 이러한 표기법은 파스칼 삼각형의 이항 전개와 일대일 대응하므로, 차수 (n)에서의 원소 수는 (2^n)임을 즉시 알 수 있다.

그레이드화된 곱셈 규칙을 이용하면, 블레이드(blade)라 불리는 순수 원소들의 제곱이 (\pm1) 로 고정되는 ‘전통적’ 연관성 클래스를 세 가지(전통적, 반전통적, 비전통적)로 구분한다. 비연관성은 네 종류로 나뉘는데, 이는 무앙 루프의 네 개 항등식 중 어느 것이 깨지는가에 따라 달라진다. 구체적으로

1. 완전 대칭형(Octonion 수준) – 모든 무앙 항등식이 동일하게 유지,
2. 두 개의 부분 대칭형(초세데논 수준) – 두 항등식이 분리,
3. 최종 비대칭형(Trigintaduonion 수준) – 남은 하나의 항등식만 유지,
4. 완전 비대칭형(그 이상 차원) – 모든 항등식이 파괴된다.

이 네 종류의 비연관성은 각각 3‑사이클 구조와 연결된다. 저자는 ‘Cycle Theorem’을 제시하여, 차수 (n\ge3)에서 존재하는 8개의 3‑사이클이 어떻게 서로 겹치며, 각 사이클이 12개의 영제(Zero‑Divisor)를 생성하는지를 증명한다. 특히, 초세데논((A_4))에서는 알려진 84개의 영제가 7개의 기본 영제 쌍으로 나뉘며, 각 쌍은 3개의 사이클과 4개의 모드(mode)로 구성된다. 이는 영제가 84의 배수로 나타나는 근본 원인이며, ‘초복소수(ultracomplex numbers)’라는 용어로 전력 연관성(power‑associative) 대수를 통칭한다.

또한, 논문은 분할(spl​it) 세데논과 분할 옥토니온에 대해 동일한 비연관성 타입이 유지되지만, 영제의 구성이 달라짐을 보인다. 분할 대수는 부호가 바뀐 (\varepsilon=-1) 를 사용함으로써, 영제 쌍이 동일한 7‑배수 구조를 갖지만, 실제 원소 배치는 서로 다른 매핑을 통해 연결된다. 저자는 세 개의 분할 대수 사이에 구체적인 동형 사상(mapping)을 제시하여, 이들 사이의 구조적 동등성을 증명한다.

전체적으로, 그레이드 표기법은 기존의 ‘쌍둥이’(doubling) 방식보다 명시적이며, 컴퓨터 구현에도 적합한 사양을 제공한다. 이는 고차원 카이리‑딕슨 대수의 비연관성 패턴을 체계적으로 분류하고, 영제 구조를 정량화함으로써 수학적 물리학(특히 입자 물리학)에서의 응용 가능성을 크게 확장한다.