데이터 기반 MPC의 비터미널 안정성: Koopman 기반 근사 오차를 통한 비례적 안정성 확보

초록

본 논문은 데이터‑드리븐 대리 모델을 이용한 비선형 MPC에서, 터미널 제약 없이도 충분히 긴 예측 호라이즌을 선택하면 원점(제어 목표)의 점근적 안정성을 보장한다는 이론을 제시한다. 핵심은 상태·입력에 비례하는 근사 오차 한계를 가정함으로써 원 시스템의 비용‑제어 가능성(cost controllability)이 보존된다는 점이다. 이를 Koopman 연산자를 활용한 커널 EDMD(Extended Dynamic Mode Decomposition) 모델에 적용해, 비례적·균일 오차 경계와 리프시츠 연속성을 만족함을 증명하고, 수치 실험으로 검증한다.

상세 분석

이 논문은 두 가지 주요 기여를 담고 있다. 첫 번째는 데이터‑드리븐 대리 모델이 존재할 때, 모델링 오차가 ‘비례적(P‑bound)’이라는 형태로 제한되면, 기존 비선형 MPC 이론에서 요구되는 터미널 비용·제약 없이도 원점의 점근적 안정성을 확보할 수 있다는 점이다. 비례적 오차는 원점에서 오차가 정확히 0이며, 상태와 입력의 크기에 비례해 선형적으로 증가한다는 의미이며, 이는 (P‑bound)와 (U‑bound) 두 가지 형태로 수식화된다. 이러한 가정 하에, 원 시스템이 만족하는 비용‑제어 가능성(cost controllability) 조건이 충분히 정확한 대리 모델에서도 유지된다는 정리를 제시한다. 비용‑제어 가능성은 ‘예측 호라이즌 N이 충분히 클 경우, relaxed Lyapunov 부등식 V_N(f(x,μ_N(x))) ≤ V_N(x) – α_N ℓ(x,μ_N(x))’을 만족함을 의미하며, 이는 기존의 터미널 조건 기반 안정성 증명과 동일한 역할을 한다. 논문은 이 부등식을 대리 모델에 대한 최적제어문제(OCP)와 연결시켜, 비례적 오차가 충분히 작을 때 α_N이 0보다 큰 값을 유지함을 보인다. 결과적으로, MPC 피드백 μ_N^ε는 원 시스템에 대해 점근적 안정성을 제공한다.

두 번째 기여는 이러한 이론적 가정을 실제 Koopman 기반 데이터‑드리븐 모델, 특히 커널 EDMD에 적용해 검증한 것이다. 커널 EDMD는 관측함수(Observable)를 무한 차원 RKHS(재생 커널 힐베르트 공간)에서 유한 차원으로 압축하는 방법으로, 데이터가 제한된 상황에서도 근사 오차를 명시적으로 추정할 수 있다. 저자들은 기존 연구에서 제시된 유한 데이터 오류 경계(예: