주파수 영역 윌렘스 보조정리와 데이터 기반 예측 제어

초록

본 논문은 기존 시간 영역 기반 윌렘스 보조정리를 주파수 영역 데이터에 적용한 새로운 정리를 제시하고, 이를 활용한 데이터 기반 예측 제어 기법인 FreePC를 개발한다. 주파수 응답 측정만으로도 시스템의 전체 동작을 재구성할 수 있으며, 불안정 시스템에 대한 폐루프 데이터 수집, 계산 효율성 향상, 불확실성 시각화 등 실용적인 장점을 제공한다.

상세 분석

본 연구는 Willems’ Fundamental Lemma (WFL)를 시간 영역이 아닌 주파수 영역 데이터에 직접 적용할 수 있는 형태로 확장한다는 점에서 혁신적이다. 기존 WFL는 입력이 충분히 영구적으로 흥분(persistently exciting, PE)된 단일 시간‑도메인 입출력 시퀀스가 시스템의 모든 가능한 입출력 궤적을 선형 결합으로 표현할 수 있음을 보였으며, 이를 기반으로 DeePC와 같은 데이터 기반 예측 제어가 가능했다. 그러나 실제 산업 현장에서는 비모수적인 주파수 응답 함수(FRF) 측정이 더 일반적이며, 이러한 데이터는 파라메트릭 모델로 변환하거나 장시간의 시간‑도메인 시퀀스로 변환해야만 기존 방법에 적용할 수 있었다. 변환 과정에서 모델링 오류와 정보 손실이 발생할 위험이 있었다.

본 논문은 이러한 문제점을 해결하기 위해 주파수 영역 데이터 자체를 이용해 WFL의 조건을 정의한다. 핵심 아이디어는 복소수 입력‑출력 스펙트럼을 행렬 형태로 정렬하고, 실수 시스템의 경우 발생하는 켤레 대칭성을 명시적으로 고려한 데이터 매트릭스를 구성하는 것이다. 저자는 이 매트릭스가 충분히 풍부한(PE) 경우, 시간‑도메인 입출력 궤적을 복원할 수 있음을 증명한다. 특히, 기존 연구