데이터 기반 불확실성 정량화와 확률 밀도 제어 프레임워크 DUST

초록

본 논문은 알려지지 않은 선형 시불변(LTI) 시스템에 대해 오프라인으로 수집된 노이즈가 섞인 데이터를 활용하여, 상태의 평균과 공분산을 목표 가우시안 분포로 정확히 이동시키는 데이터‑드리븐 최적 제어 방법론 DUST를 제안한다. 퍼시스턴스 오브 엑사이트와 서브스페이스 식별을 이용해 평균·공분산 동역학을 데이터와 노이즈 실현값으로 표현하고, 최대우도 추정 및 신경망 기반 기법으로 노이즈를 추정한 뒤 고신뢰 구간을 구한다. 추정된 불확실성을 로버스트 최적화와 확률적 제어 기법에 삽입해 평균 스티어링(DD‑MS)과 공분산 스티어링(DD‑CS)을 각각 최적화한다. 또한, 확신 등가 원리를 이용한 다중 불확실성 모델(PU‑DD‑DS)도 제시하여 문제를 다중 곱셈 불확실성 형태로 변환하고, 볼록 완화를 통해 해를 얻는다. 사례 연구를 통해 제안 기법들의 성능을 모델 기반 방법과 비교 분석한다.

상세 분석

이 논문은 기존의 데이터‑드리븐 제어가 주로 결정론적 LTI 시스템에 국한된 한계를 극복하고자, 확률적 시스템에 대한 전반적인 프레임워크를 설계한다. 핵심 아이디어는 시스템 행렬 A, B, D가 알려지지 않은 상황에서도, 충분히 퍼시스턴트한 입력‑출력 데이터와 그에 포함된 프로세스 노이즈를 동시에 추정함으로써 상태 평균과 공분산의 동역학을 정확히 재구성하는 것이다. 이를 위해 저자는 두 가지 설계 경로를 제시한다. 첫 번째는 ‘간접 설계’로, 퍼시스턴스 오브 엑사이트(Fundamental Lemma)를 활용해 데이터에 내재된 노이즈 실현값을 파라미터화하고, 이를 이용해 평균 동역학을 불확실성 포함 이차계획(QP) 형태로 변환한다. 두 번째는 ‘직접 설계’로, 서브스페이스 식별 기법을 통해 피드백 게인 Kₖ를 직접 데이터에 매핑하고, 기존 모델 기반 공분산 스티어링 이론을 그대로 적용해 공분산 동역학을 SDP 형태로 표현한다. 노이즈 추정 단계에서는 최대우도 추정(MLE)과 딥러닝 기반 회귀를 결합해 노이즈 실현값 ˆΞ와 그 공분산을 얻으며, 고신뢰 구간을 χ² 분포를 이용해 구한다. 이렇게 얻어진 불확실성 집합(Δ_model, Δ_noise)은 각각 평균 및 공분산 스티어링 문제에 로버스트 제약으로 삽입되어, 최적 제어 입력과 피드백 게인을 보수적으로 설계한다. 또한, 노이즈가 곱셈 형태로 시스템에 들어가는 경우를 다루기 위해 ‘파라미터 불확실성 DD‑DS(PU‑DD‑DS)’ 모델을 도입하고, 다항식 근사와 볼록 완화를 통해 해결 가능한 형태로 변환한다. 전체 프레임워크는 데이터 수집 → 노이즈 추정 → 불확실성 집합 구성 → 로버스트 최적화 순으로 흐르며, 각 단계마다 이론적 보증을 제공한다. 실험에서는 2차 시스템을 대상으로 다양한 노이즈 레벨과 데이터 길이에서 제안 방법의 평균·공분산 수렴 정확도와 비용 함수를 비교했으며, 모델 기반 최적 제어와 거의 동등한 성능을 보이면서도 모델 식별 오류에 강인함을 확인했다. 이와 같이 DUST는 데이터‑드리븐 제어와 확률적 로버스트 최적화를 자연스럽게 연결함으로써, 실제 시스템에서 노이즈가 불가피한 상황에서도 목표 확률 분포를 정확히 달성할 수 있는 실용적인 솔루션을 제공한다.