역학적 최적 제어 전략 SIRSI와 로트카볼테라 모델 통합

초록

본 논문은 벡터 매개 전염병의 SIR‑SI 역학과 포식‑피식 Lotka‑Volterra 생태계를 결합한 수학 모델을 제시한다. 포식자(예: 잠자리)의 자연 억제 효과를 정량화하는 ‘생태학적 재생산수’ 개념을 도입하고, 자연 억제가 부족할 경우 포식자 방출을 최적 제어 변수로 설정하여 감염자 총수와 방제 비용을 최소화하면서 최종 감수성 인구를 최대화하는 최적 전략을 Pontryagin 최대 원리를 통해 도출한다. 수치 실험을 통해 제어 전략이 전염병 피크를 낮추고 시스템을 안정화함을 확인한다.

상세 분석

이 연구는 기존 SIR‑SI 모델에 포식‑피식 상호작용을 추가함으로써 전염병 역학과 생태학을 통합하는 새로운 프레임워크를 제공한다. 모델은 인간 집단을 S, I, R로, 벡터(모기)를 S와 I로, 포식자를 D로 구분하고, 각 군집의 동태를 연속 미분 방정식으로 기술한다. 특히 벡터‑포식자 서브시스템은 전통적인 Lotka‑Volterra 형태를 유지하면서, 포식자 밀도 D가 벡터의 사망률 αD에 직접 기여한다는 점이 핵심이다. 이때 (N_v, D)의 궤도는 원점이 아닌 양의 고정점 (1,1) 주변에서 폐곡선(주기 궤도)을 형성한다는 점에서, 전통적인 Lyapunov 기반 안정성 분석이 적용되기 어렵다. 저자들은 이를 극복하기 위해 ‘생태학적 재생산수 R₀(k₀)’를 정의한다. 여기서 k₀는 Lotka‑Volterra 궤도의 불변량(주기 진폭)이며, R₀(k₀)=s·B_h·B_v/(γ+μ_h)·k₀ 형태로 표현된다. 이 수치는 포식자 최소 밀도와 벡터 최대 밀도의 비율을 반영해, 자연 포식만으로 질병이 지속될 수 있는지 여부를 판단한다. R₀(k₀)<1이면 질병이 자연 소멸하고, R₀(k₀)>1이면 외부 개입이 필요하다는 결론을 도출한다.

최적 제어 문제는 포식자 방출 속도 u(t) 를 제어변수로 두고, 목적함수 J=∫₀ᵀ