복합 로지스틱 회귀 모델: 이진 반응의 새로운 접근법

초록

본 논문은 전통적인 로지스틱 회귀가 갖는 0과 1의 고정된 비대칭성을 극복하고, 다중 로지스틱 함수를 결합해 비대칭적 상한·하한을 포함하는 복합 로지스틱 회귀 모델을 제안한다. 모델은 공변량에 따라 상한·하한을 변동시킬 수 있으며, GEE·준최우도 방식으로 상관된 이진 데이터에도 적용 가능하도록 설계되었다.

상세 분석

논문은 먼저 기존 로지스틱 회귀 π(z)=ϕ(β₀+β₁z) 가 asymptote 0, 1에 고정되는 한계를 지적한다. 이를 보완하기 위해 Richards(1959)의 일반화 로지스틱 형태 ϕ_g(t)=a+b−a(c+e^{−d−ft})^{1/g} 을 단순화하여 c=g=1 로 두고, 파라미터 a_L, a_U, z_thr, α 를 도입한 π_g(z)=a_L+(a_U−a_L)·ϕ(α(z−z_thr)) (식 6)을 제시한다. 여기서 a_L, a_U 는 각각 하한·상한 확률이며, α 는 전이 속도, z_thr 는 임계값이다.

다변량 확장을 위해 η=βᵀx 를 도입하고, π_g(x)=a_L+(a_U−a_L)·ϕ(η) (식 7) 형태로 일반화한다. 이후 a_L, a_U 자체를 로지스틱 함수 ϕ(η₂), ϕ(η₃) 로 모델링하여 최종적으로

π_c(x₁,x₂,x₃)=ϕ(η₃)·ϕ(η₁)+ϕ(η₂)·(1−ϕ(η₁))

(식 8) 로 표현한다. 여기서 x₁ 은 임계값에 영향을 주는 변수, x₂, x₃ 는 각각 하한·상한을 설명한다. 이 구조는 H(u₁,u₂,u₃)=u₃·u₁+u₂·(1−u₁) 이라는 결합함수로 요약될 수 있다(식 9).

백신 효능 모델에서는 π_inf(z)=ξ(1−γ·ϕ(α(z−z_thr))) (식 10‑11) 형태를 도입해, ξ (노출 위험), γ (백신 효능), z_thr (보호 임계값) 세 요소를 명확히 구분한다. 이를 다시 로지스틱 함수 ϕ(η₁), ϕ(η₂), ϕ(η₃) 로 치환하면 식 12‑13과 같이 복합 형태가 된다.

통계적 추정은 평균 π_i(θ)와 분산 τ_i=π_i(1−π_i) 을 이용해 일반화 추정 방정식 G(θ)=Γ(π)ᵀW^{-1}(θ)