카크 모듈 대수의 유니터라이징 측도와 루프 그룹의 켈러 기하학

초록

이 논문은 컴팩트 연결 리 군 G와 레벨 κ < −2 (\check h)에 대해, 디스크 (\mathbb D) 위의 전체 홀로모픽 (\mathfrak g_{\mathbb C})-값 (1,0)-형식 공간 (A)에 정의되는 확률 측도 (\nu_\kappa)를 구축한다. 측도는 루프 그룹 (L G)의 자연스러운 작용에 대해 특정 공변성 식을 만족하며, 이는 비존재하는 Haar 측도와 켈러 포텐셜 (S)를 이용한 형식적 경로 적분 (\mathrm d\nu_\kappa(\gamma)=e^{-\check\kappa S(\gamma)}D\gamma)를 엄밀히 구현한다. 무한소 수준에서 이 공변성은 해당 카크-모듈 대수의 샤포발로프 형식을 재현한다.

상세 분석

논문은 먼저 (G)의 복소화 (G_{\mathbb C})와 그 리 대수 (\mathfrak g_{\mathbb C})를 도입하고, (\mathbb D) 위의 전체 홀로모픽 ((1,0))-형식 공간 (A)를 폴리시 공간으로 설정한다. 핵심은 (A)에 정의된 켈러 포텐셜 (S:A_\omega\to\mathbb R_{+})이며, 이는 오른쪽 불변 카크-모듈 메트릭의 켈러 포텐셜이다. 여기서 (A_\omega\subset A)는 경계 연장 가능 형태들의 부분집합이다.

(L_\omega^1 G)와 (\widehat D_\omega^\infty G_{\mathbb C})라는 두 종류의 무한 차원 군 작용을 각각 좌·우로 정의하고, 이 작용에 대한 변분식 (\Omega(\chi,\alpha))와 (\Lambda(\alpha,h))를 연속적으로 연장한다. 주요 정리(Theorem 1.1)는 레벨 변환 (\check\kappa=-2\check h-\kappa>0)에 대해, 다음 두 공변성 식을 만족하는 유일한 확률 측도 (\nu_\kappa)가 존재함을 보인다.

1. 좌측 작용에 대한 공변성
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