불가분 엔도몰피즘과 그로스 격자의 랭크‑2 부분격자 연구

초록

이 논문은 초특이 타원곡선 (E/\mathbb{F}_p)에 대한 불가분 엔도몰피즘과 그로스 격자 (\operatorname{End}(E)^T) 사이의 관계를 조사한다. 저자들은 (\deg(\alpha)=\ell p)이고 (\operatorname{tr}(\alpha)=0)인 엔도몰피즘 (\alpha)가 존재할 때와 존재하지 않을 때 각각에 대해, (\operatorname{End}(E)^T)에 랭크‑2 부분격자와 행렬식 (4\ell p)가 존재하는지 여부를 정확히 규명한다. 결과적으로 트레이스가 0인 경우에만 대응이 보장되며, 트레이스가 비제로인 경우에는 반례가 다수 존재함을 보인다.

상세 분석

논문은 먼저 Love가 제기한 “(\ell) 차수의 동형사상 (E\to E^{(p)}) 존재 여부와 (\operatorname{End}(E)^T) 안의 랭크‑2 부분격자 행렬식 (4\ell p) 존재 여부가 동치인가?”라는 질문을 불가분 엔도몰피즘 문제로 재구성한다. 초특이 타원곡선 (E/\mathbb{F}p)의 기하학적 엔도몰피즘 링 (\operatorname{End}(E))은 (B{p,\infty})의 최대 순서 (\mathcal O)와 동형이며, 여기서 불가분 엔도몰피즘은 차수가 (p)의 배수인 원소와 동일함을 이용한다.

핵심은 두 방향을 증명하는 데 있다. 첫 번째 방향(정리 2.2)에서는 (\operatorname{End}(E)^T) 안에 행렬식 (4\ell p)인 랭크‑2 부분격자가 주어지면, (\gamma_1,\gamma_2)를 이용해 (\alpha=\frac12\gamma_1\gamma_2-\frac14\operatorname{trd}(\gamma_1\gamma_2))를 정의하고, 이것이 (\mathcal O)에 속하며 차수가 (\ell p), 트레이스가 0인 엔도몰피즘임을 확인한다. 여기서 (\operatorname{trd})와 (\operatorname{nrd})는 각각 감소된 트레이스와 노름이며, (\operatorname{nrd}(\alpha)=\frac14\det\Lambda=\ell p)가 된다.

두 번째 방향(정리 3.3)에서는 트레이스 0인 엔도몰피즘 (\alpha)가 주어졌을 때, (\alpha)가 두 원소 (\gamma_1,\gamma_2\in\operatorname{End}(E)^T)의 위와 같은 조합으로 표현될 수 있음을 보인다. 이를 위해 저자는 (\mathcal O)의 교환이데알 (