비선형 예측비용 적응 제어와 다중 기저함수 기반 온라인 모델링

초록

본 논문은 온라인 RLS‑SIFt를 이용해 입력‑출력 의사선형 모델을 실시간으로 식별하고, 이를 반복형 MPC에 적용한 비선형 예측비용 적응 제어(NPCAC)를 제안한다. 다항식, 푸리에, 큐빅 스플라인 기저함수를 활용해 비선형성을 근사하며, 기존 선형 PCAC 대비 급격한 비선형·불안정 시스템에서 우수한 추적 성능을 보인다.

상세 분석

논문은 기존의 선형 예측비용 적응 제어(PCAC)를 비선형 시스템에 확장한 NPCAC 프레임워크를 제시한다. 핵심은 ‘pseudo‑linear’ 입력‑출력 모델을 가정하고, 출력 의존적인 계수를 다항식·푸리에·큐빅 스플라인 등 다양한 기저함수로 전개한다는 점이다. 이렇게 하면 비선형 함수를 선형 결합 형태로 표현하면서도, 모델 차수와 기저함수 차원을 자유롭게 선택할 수 있어 복잡한 비선형 특성을 효율적으로 포착한다.

온라인 식별은 서브스페이스 정보 소거(Subspace of Information Forgetting, SIFt) 기법을 적용한 RLS를 사용한다. SIFt‑RLS는 회귀벡터의 크기에 따라 정보를 필터링하고, 잊음 계수 λ를 통해 과거 데이터의 영향력을 조절한다. 이는 급격히 변하는 비선형 시스템에서도 빠른 파라미터 수렴을 가능하게 하며, 기존 VRF 기반 RLS보다 수치적 안정성이 높다.

예측 제어 단계에서는 식별된 의사선형 모델을 이용해 반복형 MPC(Iterative MPC, IMPC)를 수행한다. IMPC는 매 시간 단계마다 ‘상태‑의존 계수(state‑dependent coefficients, SDC)’를 현재 예측 출력에 기반해 재계산하고, 2차 비용 함수를 QP로 최소화한다. 제약식은 선형 형태로 유지되므로, 기존 QP 솔버(예: MATLAB quadprog)를 그대로 사용할 수 있다. 비선형 모델이라도 SDC를 고정하고 선형화된 제약을 반복 적용함으로써 수렴성을 확보한다.

세 가지 기저함수의 비교 실험에서는 비선형 함수 G₁(yₖ₋₁)=0.9+0.5·atan(yₖ₋₁)와 0.4+0.5·atan(yₖ₋₁)를 포함한 불안정 시스템을 대상으로 한다. LPCA‑C(선형 PCAC)에서는 G₁이 0에 근접하거나 부호가 바뀔 때 제어 권한이 상실되어 추적 오차가 크게 증가한다. 반면 NPCAC는 온라인으로 G₁의 형태를 정확히 추정하고, SDC를 지속적으로 업데이트함으로써 제어 입력이 소실되지 않으며, 명령 신호에 대한 빠른 수렴과 작은 잔차를 달성한다.

또한, 푸리에 기저는 주기적 비선형성에 강점을 보이며, 큐빅 스플라인은 구간별 급격한 변화(예: 스위칭 비선형)에서 높은 근사 정확도를 제공한다. 다항식 기저는 구현이 간단하지만 차수가 높아질수록 과적합 위험과 계산 부하가 증가한다는 트레이드오프가 존재한다.

한계점으로는(1) 모델 차수 n̂와 기저 차원(ℓ_f, ℓ_g, ℓ_h)의 선택이 경험적이며, 자동 튜닝 메커니즘이 부재함, (2) IMPC의 서브이터레이션 횟수 ν가 시스템에 따라 민감하게 변할 수 있어 실시간 적용 시 계산량을 사전에 평가해야 함, (3) 입력·출력 스칼라 시스템에 국한되어 다변량 확장에 대한 논의가 부족하다. 그럼에도 불구하고, 온라인 식별과 MPC를 결합한 구조가 비선형 제어 분야에서 실용적인 대안이 될 가능성을 충분히 보여준다.