왜곡 끈적성 비율

초록

본 논문은 자산 가격과 변동성의 공동 동역학을 포착하는 통계량인 Skew Stickiness Ratio(SSR)를 이토‑웬첼 및 클라크‑오코네 공식에 기반해 엄밀히 표현하고, Bergomi 계열의 확률적 변동성 모델에서의 단기 만기와 저변동성‑변동성 비율(ε) 극한을 분석한다.

상세 분석

SSR은 옵션 시장에서 관측되는 “at‑the‑money” 변동성과 그 스큐(왜곡) 사이의 상관관계를 정량화하는 지표로, 기존 모델이 실증값(≈3/2)과 크게 차이 나는 점을 보완하고자 한다. 논문은 먼저 자산 가격 S_t가 dS_t = S_t √V_t dB_t 형태의 확률 미분 방정식으로 정의된다고 가정하고, 옵션 가격 P_t(K)와 암시적 총 변동성 Σ_t(K)를 Black‑Scholes 공식에 의해 연결한다. 여기서 Σ′_t(K)는 K에 대한 미분이며, SSR은 R_t = (1/σ′_t) d⟨σ_S, log S⟩_t / d⟨log S⟩_t 로 정의된다.

핵심 수학적 기여는 두 단계에 있다. 첫째, Itô‑Wentzell 정리를 이용해 Σ_S(t)=Σ_t(S_t)의 동역학을 전개하고, 이를 통해 ⟨Σ_S, S⟩의 차분을 Σ′_t(S_t) d⟨S⟩_t와 ⟨Σ(K), S⟩t|{K=S_t} 로 분리한다. 둘째, Clark‑Ocone 전개를 적용해 옵션 가격의 마팅게일 표현을 얻고, 그 결과 ⟨P(K), S⟩_t를 Malliavin 미분 연산자 D_1에 대한 조건부 기대값 형태로 나타낸다. 이를 R_t에 대입하면 R_t = X_t / Y_t 형태의 비율식이 도출되며, 여기서 X_t와 Y_t는 각각 조건부 기대값과 옵션 가격의 차분을 포함한다.

다음으로, Bergomi‑type 모델을 가정한다. V_t(s)=E