고차 하디 소볼레프 마즈야 부등식 극값 존재와 대칭성

초록

본 논문은 차수 k ≥ 2, 차원 n ≥ 2k + 2인 경우 상반평면 ℝⁿ₊⁺⁺에 대한 임계 Hardy‑Sobolev‑Maz’ya 부등식의 극값을 달성하는 함수가 존재함을 증명한다. 직접적인 접근이 어려워 하이퍼볼릭 공간 Bⁿ에 대한 동등한 Poincaré‑Sobolev 부등식으로 옮겨 놓고, 새로운 이중성 이론과 하이퍼볼릭 공간에서의 농축‑콤팩트니스 원리를 이용해 방사형 최소열을 구축한다. 결과적으로 극값을 달성하는 양의 방사형 대칭 함수가 존재함을 보이며, 이를 이용해 고차 Brezis‑Nirenberg 방정식의 양의 대칭 해도 얻는다.

상세 분석

논문은 고차 미분 연산자 ∇ᵏ와 Hardy 항 x₁⁻²ᵏ가 동시에 등장하는 Hardy‑Sobolev‑Maz’ya(HSM) 부등식
\