다변량 헤르미트 보간과 부분분수 전개의 새로운 공식

초록

저자는 Chung–Yao 접근법을 이용해 다변량 헤르미트 보간 문제에 대한 명시적 Lagrange‑Taylor 공식(정리 1.4)을 제시하고, 이를 통해 중복근을 포함한 일반적인 유리함수의 부분분수 전개식을 직접 계산하는 방법을 제시한다. 실수 계수를 갖는 경우에도 실수 형태의 부분분수 전개를 얻을 수 있다.

상세 분석

본 논문은 먼저 Chung–Yao가 제시한 다변량 라그랑주 보간 체계를 정리한다. k 차원 공간에서 n + k개의 (k‑1) 차 초평면 L₁,…,L_{n+k}가 일반 위치(general position)를 이루면, 교차점 x_α (α∈I_{n+k}^k)가 N= C_{n+k}^k 개 존재하고, 임의의 데이터 {c_α}에 대해 차수 ≤ n인 다항식 p가 유일하게 존재한다(정리 1.2). 이때 기본 다항식 p*α(x)=A_α∏{i∈α}L_i(x) 로 라그랑주 형태 p(x)=∑_α c_α p*_α(x) 를 얻는다.

다음으로 초평면 집합이 단순히 admissible(즉, k개의 초평면이 교차하는 점만 존재)인 경우를 고려한다. 각 교차점 x(i) 에 대해 중복도 m_i 를 정의하고, 그 점에서 총 |α|≤m_i−1 차까지의 편미분값을 보간 데이터로 삼는다. 이때 보간 조건의 총 수는 여전히 N이 되며, Hermite 다변량 보간 문제가 유일해진다(정리 1.3).

핵심 공헌은 Proposition 1.4에서 제시된 Lagrange‑Taylor 공식이다. 전역 소멸 다항식 ϕ(x)=∏{j=1}^{n+k}L_j(x) 와 각 점 전용 소멸 다항식 ϕ_i(x)=∏{j∉α(i)}L_j(x) 를 정의하고, f의 다변량 테일러 다항식 T_{f/ϕ_i, x(i), m_i−1}(x) 를 이용해
p_f(x)=∑{i=1}^s ϕ_i(x)·T{f/ϕ_i, x(i), m_i−1}(x)
라는 명시적 표현을 얻는다. 증명은 두 가지 성질을 확인한다. (1) ϕ_i(x)가 다른 교차점 x(r)에서 최소 m_r 차의 선형인자를 포함하므로, 해당 점에서 모든 편미분이 사라진다. (2) 다변량 Leibniz 법칙을 이용해 x(i)에서의 편미분값이 원래 함수 f의 편미분값과 일치함을 보인다. 따라서 복잡한 선형 시스템을 푸는 대신, 각 점마다 독립적인 테일러 다항식만 계산하면 된다.

이 공식을 일변량 상황에 적용하면 부분분수 전개 문제를 직접 해결할 수 있다. 먼저 q(x)의 근이 모두 단순한 경우, 기존 라그랑주 보간을 재현해 p(x)/q(x)=∑ p(x_i)/q’(x_i)·1/(x−x_i) 형태를 얻는다. 이후 중복근이 존재하는 일반 경우에 대해, 근들을 그룹화하고 ψ_i(x)=∏{j≠i}(x−t_j) 로 정의한 뒤, 식 (2.6)–(2.8)에서 제시된 그룹 라그랑주와 Lagrange‑Taylor 결합을 이용한다. 결과적으로
r(x)=∑{i=1}^s q_i(x)·∑_{j=0}^{m_i−1} (1/j!)·(r/q_i)^{(j)}(d_i)·(x−d_i)^j
라는 명시적 전개를 얻으며, 여기서 r(x) 는 p(x)와 q(x)의 나눗셈 나머지다. 이를 q(x) 로 나누면 전통적인 부분분수 형태가 바로 도출된다.

실수 계수의 경우, 복소근은 켤레쌍으로 나타나므로 (2.9)–(2.15)에서 실수 다항식 ψ_ν(x), η_ν(x) 와 실수 계수 M_{νk}, N_{νk} 를 정의한다. 복소근에 대한 항은 (x²+u_νx+v_ν) 형태의 2차 인수와 선형 결합 M_{νk}x+N_{νk} 로 표현되며, 모든 계수는 실수 차분표( divided difference )를 통해 직접 계산된다. 최종적으로 실수 유리함수 p(x)/q(x) 를
p(x)/q(x)=s(x)+∑{ν=1}^s∑{k=0}^{m_ν−1}E_{νk}(x−a_ν)^{m_ν−k-1}+∑{ν=1}^σ∑{k=0}^{μ_ν−1}(M_{νk}x+N_{νk})(x²+u_νx+v_ν)^{μ_ν−k-1}
와 같이 실수 부분분수 형태로 명시적으로 분해한다. 여기서 E_{νk}, M_{νk}, N_{νk} 는 각각 p와 q의 차분표를 이용해 구한다.

이와 같이 논문은 다변량 Hermite 보간을 위한 새로운 명시적 공식과, 이를 통해 기존에 복잡한 선형 시스템을 필요로 했던 부분분수 전개를 간단히 계산할 수 있는 방법을 제시한다. 특히 중복근과 복소근을 동시에 다루는 일반적인 실수 경우까지 포괄적으로 처리한다는 점에서 이론적·실용적 가치가 높다.