리만 제타 영점 2/3 비율, 가정 없는 RH 증명으로 새롭게 밝히다

초록

본 논문은 몽고메리의 “단순 영점 2/3 정리”를 리만 가설(RH) 없이도 성립시킬 수 있음을 보이고, 이를 통해 2/3 이상의 영점이 단순하고 동시에 임계선(σ=½) 위에 존재한다는 새로운 비율을 제시한다. 핵심은 영점의 다중집(multiset)과 대각·대칭 대각 항을 이용한 합계 추정이며, 이를 일반화한 정리들을 제시한다.

상세 분석

이 논문은 1973년 몽고메리(Montgomery)가 제시한 “단순 영점 2/3 정리”를 리만 가설(RH)에 의존하지 않고도 증명할 수 있는 새로운 방법론을 제시한다. 저자들은 먼저 ζ(s)의 비자명 영점을 복소수 ρ=β+iγ 로 두고, 중복된 영점을 고려한 다중집 Z(T)= {ρ : 0<γ≤T, ρ가 m_ρ 번 복제된 집합} 을 정의한다. 이를 통해 영점의 개수를 단순히 집합 크기로 세는 것이 아니라, 중복도(multiplicity)를 포함한 가중 합 N⁎(A)=∑_{ρ∈A} m_ρ 로 다룰 수 있다.

핵심 아이디어는 두 영점 ρ,ρ′ 사이의 차이 γ−γ′ 를 이용한 페제르 커널 합
∑{ρ,ρ′∈Z(T)} sin(½(γ−γ′)log T) / (½(γ−γ′)log T)²
을 RH 없이도 동일한 형태로 전개할 수 있다는 점이다. RH가 참이면 γ=γ′ ⇔ ρ=ρ′ 이므로 대각 항은 단순 영점에만 기여한다. 그러나 RH가 거짓일 경우, β≠½인 영점 쌍 (β+iγ,1−β+iγ) 가 같은 γ를 공유하게 되며, 이를 “대칭 대각 항”이라 부른다. 따라서
∑{γ=γ′}1 = ∑ρ m_ρ + ∑{β≠½} m_ρ + …
와 같이 대각, 대칭 대각, 그리고 비대칭 수평 항으로 분해한다.

정리 2에서는 상수 C(1≤C<2)가 존재해
∑_{γ=γ′}1 ≤ (C+o(1))·T/(2π)·log T
가 성립한다면, 전체 영점 중 최소 2−C 비율이 단순이며 동시에 임계선 위에 있음을 보인다. 여기서 C=4/3을 취하면 기존 Montgomery 결과(2/3)와 일치한다.

정리 3은 위 가정을 더 일반화하여
(i) 단순·임계 영점 비율 ≥ 2−C,
(ii) 단순 영점 비율과 임계 영점 비율의 평균 ≥ (3−C)/2,
(iii) 단순이거나 임계인 영점 비율 ≥ (4−C)/3
을 도출한다. 증명 과정에서 “수평 다중도”(horizontal multiplicity) H(γ)=∑_{ρ:γ=γ′}1 를 도입해, H(γ)=1이면 단순·임계, H(γ)=2이면 대칭 쌍 혹은 이중 영점 등으로 구분한다. 이를 통해 복잡한 비대칭 항을 배제하고도 충분한 하한을 얻는다.

마지막으로 정리 4에서는 ζ(s) 영점이 좁은 폭 b·(log T)⁻¹ 로 제한된 영역 B_b 안에 존재한다는 가정 하에, b=0.3185이면 T<γ≤2T 구간에서 2/3 이상의 영점이 단순하고 임계선 위에 있음을 보인다. 이는 최근 수치 실험과도 일치한다.

전체적으로 이 논문은 “대각·대칭 대각 항”과 “수평 다중도”라는 두 가지 새로운 도구를 활용해, 기존에 RH에 크게 의존하던 결과들을 RH 없이도 동일하거나 유사하게 끌어낼 수 있음을 보여준다. 이는 향후 ζ(s) 영점의 분포와 관련된 여러 문제—예를 들어 영점 간 거리 통계, 간격 분포, 그리고 고차원 일반화—에 대한 무조건적(조건 없는) 접근법을 제공한다.