처방 평균곡률 방정식의 역문제와 소스 함수 복원

초록

본 논문은 2차원 영역에서 처방 평균곡률 방정식 ∇·(∇u/√{1+|∇u|²}) = H(x)의 소스 함수 H를 디리클레‑투‑노이만(DN) 맵으로부터 유일하게 복원함을 증명한다. 첫 번째 선형화는 배경 해에 의존하는 계량 g를 갖는 이방성 전도 방정식으로 변환되고, 두 번째 선형화와 복소 기하학적 광학(CGO) 해의 정밀 분석을 통해 계량과 소스 사이의 강제적 관계를 얻는다. 최종적으로 리우빌 유형의 강체성 정리를 이용해 좌표 변환이 항등임을 보임으로써 H = Ĥ 임을 확보한다.

상세 분석

논문은 먼저 처방 평균곡률(PMC) 방정식을 F(p)=p√{1+|p|²} 라 두고 ∇·F(∇u)=H 형태로 표기한다. 배경 해 u₀ 에 대해 작은 변분 f 을 경계값에 추가하면, 암묵함수정리와 프리히터 미분법을 이용해 첫 번째 선형화가
∂ₐ(g^{ab}∂b v)=0, g^{ab}=∂bF_a(∇u₀)
이라는 이방성 전도식(또는 라플라스‑벨트라미 방정식)으로 변한다. 여기서 g 는 양정치 대칭 행렬이며 실제로는
g{ab}= (1+|∇u₀|²)^{-1/2}(δ{ab}−∂_a u₀ ∂_b u₀/(1+|∇u₀|²))
와 같은 형태의 리만 계량이다. 따라서 첫 번째 선형화는 기존의 Calderón 문제와 동일하게, 두 계량 g, ĝ 가 동일한 DN 맵을 가질 경우 g=λ φ*ĝ 이라는 동형성(λ는 경계에서 1, φ는 경계 고정 디퓨오몰피즘) 관계가 성립한다는 기존 결과(