모듈러 형식의 비음수 계수와 비음수 Sturm 경계

초록

저자들은 SL₂(ℤ) 위의 무게 k ≡ 0 (mod 4)인 정칙 모듈러 형식 중, 모든 푸리에 계수가 비음수인 경우를 연구한다. 첫 A(k)개의 계수가 비음수이면 전체 계수가 비음수임을 보장하는 “비음수 Sturm 경계” A(k)를 정의하고, 이를 k에 대한 상하한으로 추정한다. 또한 비음수 계수를 가진 형식의 n번째 계수에 대한 명시적 상한을 제시한다.

상세 분석

이 논문은 전통적인 Sturm 경계(모듈러 형식의 동등성을 검증하기 위한 최소 차수)와는 다른, “비음수 Sturm 경계” A(k)를 도입한다는 점에서 새롭다. A(k)는 무게 k (k≥12, k≡0 mod 4)인 모듈러 형식 f(z)=∑ₙa(n)qⁿ에 대해, 처음 A(k)개의 푸리에 계수가 모두 비음수이면 모든 n에 대해 a(n)≥0임을 보장하는 최소 정수이다. 이는 비음수 계수 여부를 유한히 검증할 수 있게 해 주어, 파티션 생성함수, 이차형식의 대표수, 클래스 군 원소 개수 등 양의 정수를 세는 다양한 산술 함수의 부호 문제에 직접 적용될 수 있다.

주요 결과는 두 부분으로 나뉜다. 첫째, Theorem 1에서 A(k)의 하한과 상한을 각각
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