델토이드 영역에서의 파버 다항식과 고차 모멘텀 파워 이터레이션

초록

본 논문은 단위 원에 내접한 삼각형 모양(델토이드) 영역에 대한 파버(Faber) 다항식의 특성을 연구하고, 이를 이용해 복소수 고윳값을 가진 행렬에 대한 파워 이터레이션을 고차 모멘텀 기법으로 가속화하는 방법을 제시한다. 핵심 결과는 (i) 해당 영역 내에서 정의한 다항식 (P_n)이 (|P_n|\le1)을 만족하고, 외부에서는 (|P_n(z)|\ge\frac13(1+\sqrt{\varepsilon})^n)의 급격한 성장률을 보이며, (ii) (z^n)을 차수 (\sim\sqrt n)의 다항식으로 근사할 수 있음을 보이고, (iii) 이를 기반으로 동적 파라미터 선택이 가능한 고차 모멘텀 파워 이터레이션 알고리즘을 설계한다.

상세 분석

논문은 먼저 복소평면에서 단위 원에 내접한 델토이드 곡선 (\Gamma)를 정의하고, 그 외부와 내부를 연결하는 리만 매핑 (\psi(w)=\frac{2}{3}w+\frac{1}{3}w^{-2})를 이용해 파버 다항식 (F_n(z))의 생성함수를 전개한다. (\Gamma)에 대해 (F_n)은 3차 재귀식
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