측정쌍과 튜플의 Gromov–Hausdorff 거리: 이론과 응용

초록

본 논문은 컴팩트 측정쌍·튜플에 대한 Gromov–Hausdorff 거리의 기본 성질을 체계화한다. 공간의 측정가능성, 기하학적 지오데식성, 아르젤라–아스콜리 정리를 확장한 결과와 함께, 2차 리만 다양체와 그 경계가 ℝ³에 등거리 삽입될 수 있는 경우가 전체 공간에서 조밀함을 보인다. 마지막으로 하이퍼네트워크·그래프·단순 복합체·지속성 다이어그램 등 다양한 분야에서 거리 개념이 자연스럽게 등장함을 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 기존의 Gromov–Hausdorff 거리 정의를 측정쌍( X , A )에 그대로 확장한다. 여기서 A⊂X는 닫힌 부분집합이며, 거리 d_GH((X,A),(Y,B))는 모든 허용 가능한 메트릭 δ에 대해 Hausdorff 거리 d_δH((X,A),(Y,B))의 최소값으로 정의된다. 저자들은 이 정의를 ‘쌍 대응(correspondence)’와 왜곡(distortion) 개념을 이용해 ½·inf_R dis(R) 형태로 재표현한다. 이 재표현은 기존 Gromov–Hausdorff 거리와 완전히 일치하면서, A와 B 사이의 추가적인 제약을 자연스럽게 포함한다는 점에서 이론적 가치를 가진다.

다음으로 저자들은 (GH₁,d_GH) 공간이 지오데식(geodesic)임을 증명한다. 핵심 아이디어는 최적 대응 R_opt을 선택하고, t∈