옵션 가격 차익거래 제거를 위한 최적 수송 기반 방법: 변동성 스트레스 테스트 적용

초록

본 논문은 규제 스트레스 테스트에서 발생하는 대규모 변동성 왜곡으로 인한 옵션 가격의 차익거래(arbitrage) 문제를 최적 수송(Optimal Transport) 이론과 엔트로피 정규화 기법을 결합해 해결한다. 저자들은 차익거래가 존재하는 옵션 가격을 부호 측정(signed measure)으로 표현하고, 이를 마르티게일 측정(martingale measure) 집합으로의 워셔스테인 거리 투영(projection) 문제로 전환한다. 엔트로피 정규화된 문제에 대해 강한 쌍대성(strong duality)과 정규화 파라미터가 0으로 갈 때의 수렴성을 증명하고, 다중 제약 Sinkhorn 알고리즘을 제안해 수치적으로 효율적인 해를 얻는다. 실험에서는 기존 Cohen‑Reisinger‑Wang 방법과 비교해 정확도와 계산 속도 모두에서 우수함을 확인한다.

상세 분석

이 논문은 옵션 시장에서 규제 목적의 스트레스 테스트가 초래하는 ‘비정상적인’ 변동성 표면을 정량적으로 교정하는 새로운 프레임워크를 제시한다. 핵심 아이디어는 차익거래가 존재하는 옵션 가격 데이터를 부호 측정으로 해석하고, 이를 마르티게일 조건을 만족하는 확률 측정으로 가장 가깝게 변환하는 것이다. 이를 위해 저자들은 먼저 Cousot의 비정형 격자(grid)에서의 무차익조건(NDCO)을 확장해, 임의의 차익거래가 포함된 가격 집합에 대응하는 유한 지원 부호 측정을 구성한다.

그 다음, 최적 수송 이론을 활용해 부호 측정과 마르티게일 측정 사이의 워셔스테인 거리(Wasserstein distance)를 정의한다. 기존 문헌에서는 주로 비음수 확률 측정 간 거리만을 다루었지만, Piccoli·Ambrosio 등(2019, 2021)의 작업을 기반으로 부호 측정 공간에 대한 거리 개념을 도입함으로써 차익거래가 포함된 데이터에도 적용 가능하도록 확장한다.

정규화 단계에서는 엔트로피 항을 비용 함수에 추가해 엔트로피 정규화 최적 수송(Entropic Optimal Transport, EOT) 문제로 변형한다. 이 접근법은 Cuturi(2013)의 Sinkhorn 알고리즘을 직접 적용할 수 있게 하며, Kullback‑Leibler 발산 형태의 엄격히 볼록한 목적함수를 제공한다. 논문은 정규화 파라미터 ε→0 일 때 원래 워셔스테인 투영 문제로 수렴함을 정리와 정리 5.2‑5.4를 통해 엄밀히 증명한다.

알고리즘 설계에서는 다중 제약(multi‑constrained) Sinkhorn을 제안한다. 전통적인 Sinkhorn은 두 개의 주변 제약(마진)만을 만족시키지만, 여기서는 추가로 마르티게일 제약(시간별 기대값 일치)과 부호 측정의 총 질량 보존을 동시에 강제한다. 각 반복 단계는 (i) 스케일링 벡터 업데이트, (ii) 마르티게일 제약을 만족시키는 스칼라 함수의 근을 찾는 서브프로세스로 구성된다. 저자는 이 서브프로세스가 단조성 및 연속성을 갖는 명시적 함수이므로, 이분법 혹은 뉴턴법으로 빠르게 해결될 수 있음을 보인다. 수렴 증명은 Bregman 발산과 교대 최소화 원리를 이용해, 반복 횟수가 무한대로 갈 때 고정점에 수렴함을 보인다.

수치 실험에서는 (1) 인공적으로 생성한 차익거래가 포함된 변동성 스마일, (2) 실제 시장 데이터에 인위적 스트레스를 가한 경우, (3) 기존 선형계획법 기반 Cohen‑Reisinger‑Wang(L1 최소화) 방법과의 비교를 수행한다. 결과는 제안된 OT‑Sinkhorn 방법이 (a) 차익거래 제거 후 가격 곡선의 매끄러움과 모노톤성을 유지하고, (b) L1 기반 교정보다 전체 평균 절대 오차가 30% 이상 감소하며, (c) 고차원(다중 만기·다중 행사가) 상황에서도 연산 시간이 선형에 가깝게 증가함을 보여준다. 특히, 부호 측정에서 시작해 마르티게일 측정으로의 투영이 직접적으로 확률적 해석을 제공하므로, 스트레스 테스트 후에도 시뮬레이션 기반 VaR·CVaR 계산에 바로 활용 가능하다.

이 논문은 (i) 차익거래 교정 문제를 측정 이론적 관점에서 재정의하고, (ii) 엔트로피 정규화와 다중 제약 Sinkhorn을 결합해 실용적인 수치 해법을 제공한다는 점에서 기존 문헌과 차별화된다. 또한, 부호 측정 공간에서의 워셔스테인 거리 정의와 그 수렴 분석은 최적 수송 이론을 금융 데이터 정제에 적용한 최초 사례 중 하나로 평가될 수 있다.