LodhaMoore 그룹에서 BS1 2와 F의 왜곡

초록

본 논문은 Lodha‑Moore 그룹 G₀ 안에서 Baumslag–Solitar 군 BS(1,2)는 왜곡되지 않고, Thompson 군 F는 왜곡된다는 사실을 명시적 길이 하한을 이용해 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 G₀를 실수선 위의 조각선형 유리변환군(PPSL₂(ℝ))의 부분군으로 정의하고, 각 원소 f∈G₀에 대해 두 개의 정수값 불변량 D(f)와 M(f)를 도입한다. D(f)는 f의 비정규점(break point)들의 분모의 최댓값을, M(f)는 f가 작용하는 각 선형분수 구간에서 나타나는 행렬 원소들의 절대값 최댓값을 의미한다. 이 두 값을 합친 C(f)=max{D(f),M(f)}는 이후 증명에서 핵심적인 역할을 한다.

Lemma 3.1‑3.5를 통해 C(f·s)≤6 C(f) (s는 표준 생성집합 {a±1,b±1,c±1})라는 점화식이 얻어지며, 이를 반복 적용하면 ‖f‖{S{G₀}}≥½ log C(f)라는 전역적인 길이 하한을 얻는다(Corollary 3.7). 즉, G₀ 안에서 원소의 복잡도는 로그 스케일로 단어 길이에 하한을 제공한다.

다음으로 BS(1,2)의 복사본을 G₀ 안에 명시적으로 구성한다. 저자는 g₁, g₂라는 두 원소를 정의하고, 이들이 ⟨g₁,g₂⟩≅BS(1,2)를 생성함을 보인다. BS(1,2) 내부의 정규형 t^{-m} x^{N} t^{n}에 대해 기존 문헌(Prop 3.8)에서 알려진 길이 추정식 ‖x‖≈C·(m+n+log|N|)를 이용한다. 여기서 C는 상수이며, 이 식은 BS(1,2) 내부의 단어 길이가 로그 형태로 성장함을 의미한다.

그런데 앞서 얻은 G₀의 길이 하한과 결합하면, BS(1,2) 원소의 G₀ 내 길이는 C(f)의 로그와 비례하게 되므로, BS(1,2)→G₀ 삽입이 quasi‑isometric임을 확인한다. 이는 Theorem 3.13에서 “undistorted”라는 결론으로 정리된다.

반면 Thompson 군 F는 G₀의 부분군으로 포함된다. 저자는 F 안의 특정 원소열 {xₙ}을 선택하고, 각 xₙ을 G₀의 생성집합으로 표현했을 때 그 길이가 선형이 아니라 지수적으로 증가함을 보인다(정확히는 log C(f) 하한이 선형보다 훨씬 작다). 이를 통해 F→G₀ 삽입이 quasi‑isometric이 아님을 증명하고, Theorem 4.1에서 “distorted”임을 선언한다.

전체적으로 논문은 G₀의 구조적 복잡성을 정량화하는 새로운 불변량 C(f)를 도입하고, 이를 통해 두 유명한 하위군의 왜곡 여부를 명확히 구분한다. 특히 BS(1,2)의 undistorted 삽입은 G₀가 F와는 다른 비아미블성 및 비단순성 특성을 가짐을 시사한다.