정사각형에서의 쌍곡선 거리와 삼각비 비율 거리의 정확한 비교

초록

본 논문은 평면 정사각형 K 내에서 정의된 쌍곡선 거리 ρ_K와 삼각비 비율 거리 s_K 사이의 비율을 정확히 추정한다. 저자들은 모든 점 x, y ∈ K에 대해
( s_K(x,y)\le \tanh!\big(\rho_K(x,y)/2\big)\le C(\lambda_0),s_K(x,y) )
를 증명하고, 여기서 상수 (C(\lambda_0)=K(\sqrt2/2)=1.854074677\ldots)는 최적임을 보인다. 증명은 대칭성, 최소점 위치 분석, 그리고 정사각형을 단위 원판에 매핑하는 타원 적분 기반의 전단사 함수를 활용한다.

상세 분석

논문은 먼저 하이퍼볼릭 거리 ρ_K와 삼각비 비율 거리 s_K의 정의를 복습하고, 이 두 거리 사이의 일반적인 부등식
( C_1,s_D(x,y)\le \tanh(\rho_D(x,y)/2)\le C_2,s_D(x,y) )
에 대해 기존 연구에서 (C_1=1)임을 확인한다. 핵심은 상수 (C_2)를 정확히 구하는 것이다. 저자들은 정사각형 K=