그래프 위 일반화 슈뢰딩거 브리지

초록

본 논문은 임의의 그래프 구조에서 연속시간 마코프 연쇄(CTMC)를 이용해 출발 분포를 목표 분포로 운반하면서, 상태 의존 실행 비용을 최소화하는 데이터‑드리븐 프레임워크인 Generalized Schrödinger Bridge on Graphs(GSBoG)를 제안한다. 경로 수준의 정책을 학습함으로써 전역 최적화 문제를 회피하고, 대규모·희소 그래프에서도 확장성을 확보한다.

상세 분석

GSBoG는 기존 그래프 기반 최적 수송 방법이 갖는 두 가지 근본적인 한계를 극복한다. 첫째, 전통적인 최적 수송은 정적 커플링만 제공해 시간에 따른 흐름을 제어하지 못한다. 둘째, 동적 슈뢰딩거 브리지(DSB)와 같은 접근법은 전체 그래프에 대한 시간‑확장 흐름을 직접 해석·연산해야 하므로 메모리·연산 복잡도가 O(|V|·T) 수준으로 급증한다. GSBoG는 이러한 문제를 “경로‑레벨” 정책 학습으로 전환한다. 구체적으로, 연속시간 마코프 연쇄의 전이율을 제어 변수 u_t 로 두고, KL 발산과 상태‑분포 의존 비용 f(t,x,p_t)를 결합한 목적함수를 최소화한다. 이때 KL 항은 기본 전이율 r_t 와의 엔트로피 정규화를 제공해 문제를 엔트로피 최적 수송 형태로 변형한다.

연속공간에서의 GSB는 Hopf‑Cole 변환을 통해 Schrödinger 포텐셜 φ, \hat φ 로 표현되며, 이들은 연동된 PDE(또는 FBSDE)로 기술된다. 논문은 이를 그래프 이산 공간으로 옮겨, 라그랑지안 이중화와 연속 방정식(CE)을 이용해 시간‑의존 포텐셜 V_t 를 도입한다. 최적 전이율은 u*_t(y,x)=r_t(y,x)·exp