VoroUDF: Voronoi 최적화 기반 무부호 거리장 메싱

초록

VoroUDF는 무부호 거리장(UDF)으로부터 비다양체, 날카로운 특징 및 개방 경계를 보존하면서 고품질 삼각 메쉬를 생성하는 새로운 알고리즘이다. Voronoi 분할을 이용해 L₁ 접선 최소화와 특징 인식 반발 에너지를 동시에 최적화함으로써 기존 방법보다 위상 일관성과 기하학적 정확도가 크게 향상된다.

상세 분석

본 논문은 무부호 거리장(UDF)의 특성—즉, 내부·외부 구분이 없고, 거리값이 항상 양수라는 점—을 고려한 메싱 기법의 근본적인 한계를 극복하고자 한다. 기존의 Marching‑Cubes 기반 방법은 가짜 부호(pseudo‑sign)를 추정해 격자 셀을 이진화하지만, 메디안 축을 가로지르는 얇은 구조에서는 부호가 불안정해 구멍이나 비다양체 손실이 발생한다. 또한, 이중 커버링(double‑covering) 방식은 비다양체 영역을 두 겹의 매니폴드 메쉬로 변환해 실제 연결성을 재현하지 못한다. Dual‑contouring 기반 방법은 QEF(Quadratic Error Function)를 사용해 셀 내부에 정점을 배치하지만, 최적점이 셀을 벗어나면 잘못된 연결이 생기고, 이를 방지하기 위해 셀을 과도하게 세분화해야 하는 비용이 있다.

VoroUDF는 이러한 문제점을 Voronoi 기반 파티션으로 근본적으로 회피한다. 초기에는 입력 UDF의 경계 볼륨 안에 N개의 시드를 균등히 배치하고, 각 시드의 위치와 그라디언트를 이용해 해당 시드가 속한 Voronoi 셀 Ωᵢ 안으로 투영한다. 이후 두 가지 에너지 함수를 교대로 최소화한다.

1. L₁ 접선 에너지: 각 셀 안에서 M(=100)개의 샘플 pᵢₘ을 추출하고, 해당 샘플의 거리 dᵢₘ와 정규화된 그라디언트 nᵢₘ을 이용해 접선 평면 nᵢₘᵀ(pᵢₘ−xᵢ)−dᵢₘ=0을 만든다. L₂ 기반 QEF와 달리 L₁ 노름을 사용하면 외부 점에 대한 큰 오차가 완화되고, 최적화가 셀 경계 밖으로 흐르는 현상을 방지한다. 또한, 제약조건 xᵢ∈Ωᵢ와 초기 위치와의 L₂ 정규화(γ=10)를 함께 두어 시드가 과도히 이동하지 않도록 한다. 이때 최적화는 선형 프로그램 형태로 변환되어 효율적인 LP 솔버로 해결된다. L₁ 접선 에너지는 특히 비다양체 교차점이나 날카로운 모서리 근처에서 다중 접선 평면이 동시에 작용하도록 하여, 시드가 해당 특징 위에 정확히 정렬되게 만든다.

2. 특징 인식 반발 에너지: 시드 간의 과밀을 방지하고 삼각형 품질을 높이기 위해 Gaussian 형태의 쌍별 반발 함수를 도입한다. σ는 현재 시드 집합에서 최소 거리로 동적으로 업데이트되며, 이는 전체 시스템이 균일한 샘플링을 유지하도록 유도한다. 그러나 순수 반발만 적용하면 시드가 표면에서 멀어질 위험이 있다. 이를 보완하기 위해 L₁ 접선 에너지에서 얻은 행렬 A의 영공간을 SVD로 분석하고, 영공간 방향으로의 이동을 억제하는 투영 연산을 추가한다. 결과적으로 시드는 표면에 머무르면서도 서로 균등히 퍼지게 된다.

최적화가 수렴하면 시드들의 Voronoi 다이어그램을 기반으로 듀얼 그래프를 생성하고, 이를 삼각 메쉬로 변환한다. 이 과정은 셀 경계와 직접 연결되므로, 메쉬는 자동으로 비다양체 에지와 개방 경계를 포함한다.

실험에서는 합성 비다양체 모델과 실제 스캔 데이터(Koch 2019, Zhu 2020)를 대상으로 기존 GeoUDF, NSDUDF, DualMeshUDF, DCUDF 등과 정량·정성 비교하였다. VoroUDF는 동일하거나 더 낮은 정점 수(예: Klein bottle에서 3.6k vs 13k)로도 구멍 없이 완전한 메쉬를 생성했으며, 평균 삼각형 품질(Q값)과 위상 일관성 지표에서 현저히 우수했다. 특히 비다양체 교차점이 빨간색으로 강조된 Figure 1에서 기존 방법이 두 겹 메쉬나 구멍을 만들었지만, VoroUDF는 단일 연속 메쉬를 정확히 복원한다.

한계점으로는 초기 시드 수 N과 샘플 수 M에 대한 민감도가 존재하며, 매우 복잡한 고주파 특징이 있는 경우 추가적인 지역 재샘플링이 필요할 수 있다. 또한, 현재 구현은 CPU 기반 L‑BFGS와 LP 솔버에 의존하므로 대규모 데이터셋에 대한 GPU 가속이 향후 과제로 남는다.

전반적으로 VoroUDF는 Voronoi 기반 파티셔닝과 L₁ 접선 최소화, 특징 인식 반발을 결합함으로써 무부호 거리장 메싱에서 가장 어려운 비다양체·날카로운·개방형 구조를 안정적으로 복원하는 새로운 패러다임을 제시한다.