단순 및 대각 이중 4차식의 SOS 순위 연구

초록

본 논문은 3×3 및 m×n 차원의 단순·대각 이중 4차식에 대한 SOS(합의 제곱) 순위를 조사한다. 3×3 단순 형태의 최대 SOS 순위가 6임을 증명하고, m≥3인 경우 m×m 단순 형태가 정확히 2m개의 제곱으로 표현될 수 있음을 보인다. 또한 모든 m,n≥3에 대해 BSR(m,n)≥m+n이라는 하한을 제시한다. 대각 형태에 대해서는 3×3 PSD(양의 반정정) 경우 SOS 순위가 7 이하임을 보여, 기존 상한 8을 개선한다. 이러한 결과는 구조적 제약이 SOS 순위 감소에 미치는 영향을 강조한다.

상세 분석

논문은 이중 4차식 P(x,y)=∑{i,k=1}^m∑{j,l=1}^n a_{ijkl}x_i x_k y_j y_l 를 다루며, 특히 두 가지 구조적 부분집합에 초점을 맞춘다. 첫 번째는 “단순(simple)” 형태로, 여기서는 a_{ijkl}=0이면서 i≠k 또는 j≠l인 경우를 제외하고, 오직 x_i^2 y_j^2 형태만 허용한다. 두 번째는 “대각(diagonal)” 형태로, a_{ijkl}=0이면서 i≠k·j≠l인 경우를 제외하고, 계수 a_{ij}≥0인 x_i^2 y_j^2 항만 남긴다. 두 경우 모두 PSD이면 자동으로 SOS가 되지만, 최소 제곱 수, 즉 SOS rank는 비자명하다.

3×3 단순 형태에 대해 저자들은 먼저 6개의 항을 갖는 구체적 형태 P′(x,y)=x_1^2y_1^2+…+x_3^2y_3^2+x_1^2y_2^2+x_2^2y_3^2+x_3^2y_1^2 를 제시한다. 이 식은 명시적으로 6개의 제곱으로 분해될 수 있음(sos≤6)과, 5개의 제곱만으로는 불가능함을 정규 직교 벡터 논증을 통해 증명함으로써 sos=6임을 확정한다. 여기서 핵심은 각 제곱을 bilinear form L_t(x,y)=∑{i,j}c{ij}^{(t)}x_i y_j 로 표현하고, 계수 행렬 C_{ij}=(c_{ij}^{(1)},…,c_{ij}^{(R)}) 가 R 차원 유클리드 공간에서 서로 직교하고 단위 길이를 가져야 한다는 점이다. 5개의 벡터로는 6개의 서로 직교하는 단위벡터를 만들 수 없으므로 R≥6이 된다.

다음 단계에서는 m≥3인 경우 m×m 단순 형태 P_{m,m,2m}=∑{i=1}^m x_i^2 y_i^2+∑{i=1}^m x_i^2 y_{i+1}^2 (인덱스는 모듈로 m) 를 정의하고, 동일한 직교 벡터 논법을 일반화한다. 지원 집합 S={(i,i),(i,i+1)}의 크기가 2m이므로, SOS 표현에 필요한 제곱 수 R은 최소 2m이어야 함을 보인다. 이는 상한 R≤2m(각 항을 개별 제곱으로)과 결합해 정확히 sos(P_{m,m,2m})=2m임을 얻는다.

BSR(simple)(m,n) 즉, m×n 단순 형태의 최대 SOS 순위에 대한 하한을 다루기 위해 두 가지 단조성(Lemma 2.8, Corollary 2.9)을 증명한다. 변수 하나를 추가하면 최소 한 개의 제곱이 더 필요함을 보이며, 이를 귀납적으로 적용해 BSR(simple)(m,n)≥m+n을 얻는다. 특히 m=n인 경우 위에서 만든 P_{m,m,2m}이 정확히 2m을 달성하므로, 이 하한이 m=n에 대해 완전함을 확인한다. 그러나 일반 m≠n에 대해서는 아직 상한과의 격차가 남아 있다(일반적인 상한은 mn−1).

대각 형태에 대해서는 a_{ij}≥0인 3×3 행렬을 고려한다. 저자는 양의 항 개수 t에 따라 경우를 나누어 분석한다. t≤7이면 각 항을 직접 제곱으로 써서 sos≤7이 된다. t=8인 경우 하나의 항이 0이므로 2×2 양의 블록 W_{1212}을 찾아 sos≤3으로 표현하고, 나머지 4항을 각각 제곱으로 처리해 총 7개 이하가 된다. t=9(모두 양수)인 경우에는 복잡한 “분할(split)” 기법을 도입한다. 먼저 2×2 블록을 두 개 선택해 각각 W′{1212}와 W{2233} 형태로 변형하고, 각 블록은 c≥0 조건에 따라 2개 혹은 3개의 제곱으로 표현한다. 남은 두 항은 단일 제곱으로 처리해 전체 7개 이하가 된다. 이 과정에서 c=a_{ik}a_{jl}−a_{il}a_{jk}≥0 여부에 따라 블록이 PSD인지 판단하고, 필요시 행·열 교환을 통해 조건을 만족시킨다. 결과적으로 모든 3×3 대각 PSD 이중 4차식은 sos≤7임을 증명한다. 이는 기존 일반 상한 mn−1=8을 개선한다.

논문 말미에서는 BSR(3,3)≈6이라는 추측을 제시하고, 현재까지는 6이 하한이자 가능한 상한으로 보인다. 또한 BSR(m,m)의 정확한 성장률이 선형(2m)인지 혹은 이차(m^2)인지에 대한 열린 질문을 남긴다. 대각 형태에서 7이라는 상한이 실제로 달성 가능한지, 즉 어떤 계수 배열이 정확히 7개의 제곱을 필요로 하는지도 미해결 문제로 제시한다. 전체적으로 구조적 제약(단순·대각)이 SOS 순위를 크게 낮출 수 있음을 보여주며, 향후 일반 이중 4차식의 SOS 순위 연구에 중요한 방향성을 제공한다.