Moz1 7자유도 로봇 팔의 새로운 팔각도 기반 해석적 역기구학

초록

본 논문은 비구형 어깨·손목(SRS) 구조를 가진 7자유도 Moz1 로봇 팔에 대해, 기존 SEW 각도가 정의되지 않는 경우를 해결하는 새로운 “팔각도(arm angle)”를 도입한 해석적 역기구학(IK) 해법을 제시한다. 오프셋이 존재하는 팔관절을 고려한 폐형식 해를 유도하고, 16개의 전해(solution) 전부를 실시간으로 계산할 수 있게 하며, 특이점 분석까지 포함한다.

상세 분석

논문은 먼저 Moz1 로봇의 기구학을 MDH 파라미터와 좌표계 변환 행렬을 통해 정형화한다. 기존 7R 인간형 로봇에서 사용되는 SEW(Shoulder‑Elbow‑Wrist) 각도는 어깨‑손목 축이 자가 운동 동안 고정돼야 정의될 수 있지만, Moz1은 손목 중심 C가 팔꿈치‑손목 축과 평행하지 않은 오프셋을 가지고 있어 SEW 각도가 불가능하다. 이를 극복하기 위해 저자는 S‑E‑C 세 점을 이용해 “팔각도 ψ”를 정의한다. ψ는 SC 벡터와 −z₇ 축이 이루는 기준 평면과 SC‑SE 평면 사이의 회전 각도로, 팔의 자가 운동 동안 SC와 C가 고정되므로 연속적인 각도 정의가 가능하다.

특수 구성(손목 중심 C가 베이스 z축 위에 위치하고, 7번째 관절 z₇가 xz 평면에 있는 경우)을 가정하고, ψ, d_sc(벡터 SC의 길이), q(SC와 −z₇ 사이의 각도), α(기준 평면과 팔 평면 사이의 회전) 네 개의 파라미터로 0T₇(끝단 프레임)을 표현한다. 이후 관절 변수 q₆, q₇을 ψ와 기하학적 제약식(식 5, 10)으로 연결하고, 이를 정리하면 t₆(=a_wr+ d_sc·cos q)와 r₆(=d_ew·sin q₆) 사이의 4차 방정식(식 13)이 도출된다. quartic solver를 이용해 q₆의 네 해를 구하고, 부호 판단을 통해 올바른 해를 선택한다. q₈ = q₇−α 를 구한 뒤, q₄·q₅는 팔꿈치‑손목 프레임 관계식(식 14‑18)으로부터 두 개의 해를 얻는다. 마지막으로 q₁·q₂·q₃은 베이스‑팔꿈치 회전 행렬을 이용해 r_ij 요소와 비교함으로써 두 개의 해를 산출한다. 전체적으로 2·2·2·2 = 16개의 조합이 존재한다.

일반적인 자세에 대해서는 로봇 전체 자세를 특수 구성으로 매핑하는 “구형 회전” 절차를 제시한다. 주어진 0T₇에서 SC, z₇, x₇ 등을 추출해 d_sc, q, α를 계산하고, 앞서 정의한 특수 구성 해법을 그대로 적용한다. 이렇게 하면 모든 가능한 자세에 대해 동일한 해법을 사용할 수 있다.

특이점 분석은 reciprocity‑based 방법을 채택한다. 기구학적 특이점은 q₄=0,π; q₂=±π/2와 q₃=0,π; q₅=0,π와 q₆=±acos(−a_wr/d_ew) 등으로 정의되며, 알고리즘적 특이점은 q₂=±π/2와 q₆=±acos(−a_wr/d_ew) 그리고 (d_ew + a_wr·cos q₆)·sin q₄ − a_wr·cos q₄·sin q₅·sin q₆ = 0 로 표현된다. 이러한 특이점은 해석적 식에서 분모가 0이 되거나 arccos 입력 범위를 초과할 때 발생한다는 점을 명시한다.

실제 구현은 Eigen 라이브러리만을 외부 의존성으로 사용한 C++ 코드로, 연산량이 고정돼 실시간 제어에 적합함을 강조한다. 수치 해법과 달리 초기 추정값에 의존하지 않으며, 워크스페이스 외 목표에 대해서도 기하학적으로 의미 있는 해를 반환한다.