정특성 정규환에서 아벨 군 확장은 코헨 마칼레이가 될 필요가 없다

초록

정특성 체 $p$ 위의 다항식 환 $R$를 정규·정규화한 뒤, 차수 $p^{2}$인 아벨 군 확장 $L/K$를 취하면, 그 적분폐쇄 $S$가 코헨‑마칼레이가 아님을 보인다. 이는 모듈라 불변량 이론과 Kemper의 “bireflection” 정리를 이용한 구체적 구성이다.

상세 분석

이 논문은 Roberts(1980)의 정리—정규 지역환 $R$의 분수체 $K$에 대한 아벨 군 확장 $L/K$가, 그 차수가 잔여체 특성과 서로소이면 적분폐쇄 $S$가 코헨‑마칼레이가 된다—의 가정 중 “특성과 차수가 서로소”라는 조건을 없앨 경우 정리가 깨진다는 구체적 반례를 제공한다. 저자들은 먼저 유한 차원 벡터공간 $V$ 위에 $p$‑군 $G\subset GL(V)$가 작용하는 경우를 고려한다. $G$는 $3$개의 복사된 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$의 직곱이며, 그 작용은 $T=\mathbb{F}_{p}