극한값 이론을 통한 대규모 확산 게임의 평균장 한계와 L∞ 오차 추정

초록

본 논문은 드리프트에만 상호작용이 있는 N인 게임의 Nash 균형 상태를 평균장 한계(N→∞)로 분석한다. 기존 L¹ 오차 추정을 L∞ 형태로 강화하고, Nash 상태들의 최고위 통계량(upper order statistics)의 극한값 분포를 밝혀 확산 게임에 대한 극한값 이론(EVT)을 최초로 제시한다.

상세 분석

이 연구는 확산형 확률 미분 게임을 두 단계로 접근한다. 첫 번째 단계는 Nash 균형 하에서 각 플레이어가 제어하는 드리프트 b(x,μ,v)와 비용 f,g를 정의하고, 닫힌 루프 균형 전략 ˆv(x,μ,y)=argmin_v{b(x,μ,v)·y+f(x,μ,v)}를 통해 시스템(1.9)를 도출한다. 여기서 μ_N^v는 전체 플레이어의 경험적 측정이다. 기존 문헌은 이 복잡한 상호작용 시스템을 평균장 마스터 방정식(1.15)으로 근사하고, 그 결과로 L¹ 오차 추정식(1.19)을 얻었다. 저자들은 이 오차를 L∞(Ω) 노름으로 강화한다. 핵심 아이디어는 마스터 방정식과 유한 N 시스템의 가치 함수 U_i,N, U의 미분가능성을 이용해 BSDE 기반의 경계값을 도출하고, 파생된 편미분이 유계임을 가정한다(특히 종단조건 g의 미분이 유계이면 충분). 이를 통해

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