안정적 α‑스테이블 SDE의 Euler 스킴: 밀도 약오차 수렴률 γ/α 분석

초록

본 논문은 α∈(1,2]인 대칭 동질 α‑스테이블 잡음과 β‑호lder 연속(β∈(0,1))인 유계 드리프트 b(t,x)를 갖는 SDE의 Euler‑Maruyama 이산화에 대해, 시간‑무작위화 기법을 이용해 밀도 수준의 약오차가 h^{γ/α} (γ=α+β−1) 으로 수렴함을 증명한다. 주요 결과는 전이 밀도와 그 근사밀도에 대한 Aronson‑type 상한, 전방 시간 및 공간에 대한 호lder 제어, 그리고 최종적인 약오차 정리이다.

상세 분석

논문은 먼저 α‑스테이블 잡음 Z_t의 밀도 p_α(v,z)가 전형적인 열핵 형태 (\bar p_α(v,z)=C v^{-d/α}(1+|z|v^{-1/α})^{-(d+α)}) 로 상하한을 갖는다는 사실을 정리한다. 이를 기반으로 SDE (1.1)의 약해 해가 전이 밀도 Γ(s,x,t,·)를 가지며, Γ는 (\bar p_α(t-s,y-x)) 로 지배되고, 전방 시간에 대해 (|Γ(s,x,t,y)-Γ(s,x,t’,y)|\le C (t’-t)^{γ/α}(t-s)^{-γ/α}\bar p_α(t’-s,y-x)) 와 같은 호lder 연속성을 만족한다. 또한 공간 변수에 대해서도 (|Γ(s,x,t,y)-Γ(s,x,t,w)|\le C|y-w|^{γ-ε}(t-s)^{-(γ-ε)/α}\bar p_α(t-s,w-x)) (ε∈(0,γ∧1]) 를 얻는다.

Euler 스킴은 시간 격자를 h=T/n 으로 두고, 각 단계에서 드리프트를 균등히 무작위화된 시간 U_k∈