짧은 경로로 정점 분할 근사 알고리즘

초록

본 논문은 고정된 정수 k 에 대해 그래프 G 의 모든 정점을 길이 k 이하의 경로들로 나누는 k⁻‑경로 분할(kPP) 문제에 대해, k = 9,10 일 때 (k+4)/5 근사와 k ≥ 11 일 때 (√11‑2)/7·k + (9‑√11)/7 근사를 제공한다. 핵심 아이디어는 삼각형이 없는 최대 경로‑사이클 커버 F 를 시작점으로 삼고, 보조 그래프에서 가중치가 최대인 또 다른 경로‑사이클 커버 W 를 구해 F 의 짧은 사이클(4·5‑길이)을 외부와 연결함으로써 손실을 최소화한다. 이를 통해 k ∈ {9,…,18} 구간에서 현재 최선의 근사 비율을 달성한다.

상세 분석

논문은 먼저 k‑pp 문제를 “경로 수 최소화”와 “포함된 간선 수 최대화”가 동치임을 이용해, 목표를 간선 수를 최대화하는 k‑PPE 문제로 전환한다. 이 전환을 정리한 Lemma 1에 따르면, α‑근사 k‑PPE 알고리즘은 ((1‑α)·k + α)‑근사 k‑pp 알고리즘이 된다. 따라서 논문은 k = 9,10 에 대해 4/5‑근사 k‑PPE, k ≥ 11 에 대해 9‑√11 / 7‑근사 k‑PPE 를 설계한다.

핵심 전처리 단계는 O(n³m²) 시간에 삼각형이 없는 최대 경로‑사이클 커버 F 를 구하는 것이다. F 는 최적 k‑PPE 해보다 간선 수가 많거나 같지만, 사이클이나 (k+1)⁺‑길이 경로가 포함될 수 있어 바로는 실현 불가능하다. 여기서 논문은 “짧은 사이클”(길이 4 혹은 5)만을 문제의 병목으로 식별한다. 짧은 사이클이 없으면 Lemma 3에 의해 F  자체를 바로 k‑pp 로 변환해 4/5 또는 5/6 근사 비율을 얻을 수 있다.

짧은 사이클을 외부와 연결하기 위해 보조 그래프 G′ 를 정의한다. G′ 의 정점 집합은 원 그래프 G 와 동일하고, 간선은 서로 다른 연결 성분에 속하면서 최소 하나가 짧은 사이클에 속하는 정점 쌍만 포함한다. 각 간선은 해당 사이클을 “포화(saturate)”한다는 의미를 갖는다. 가중치는 k = 9,10 일 때는 포화된 4‑사이클 수, k ≥ 11 일 때는 포화된 4‑와 5‑사이클 수의 가중 합(5‑사이클에 η=1 가중치)으로 정의한다.

그 다음, 최대 가중치 경로‑사이클 커버 W 를 구한다. 이를 위해 논문은 최대 가중치