모노이달 범주에서 유도함수의 반분리성

초록

이 논문은 모노이달 범주 내에서 대수 사상에 대응하는 유도함수와 코유도함수의 반분리(semi‑separable) 조건을 완전히 규명한다. 단위 객체가 왼쪽 텐서 생성자일 때는 제시된 충분조건이 필요조건이 되며, 완화된 가정 하에 렉스(강) 모노이달 함수를 적용해도 반분리성이 보존됨을 보인다. 또한 듀오이달 범주에서 (코)유도함수들의 조합에 대한 반분리성 결과를 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 반분리함수의 기본 이론을 정리하고, 라파엘 정리의 반분리 버전을 제시한다(정리 2.5). 이를 바탕으로 모노이달 범주 (C,⊗,1) 에서 대수 사상 φ:R→S 에 대한 유도함수 φ_* = –⊗R S 의 반분리성을 조사한다. 핵심 결과인 정리 3.5는 φ가 R‑바이모듈 사상으로서 정규(regular), 즉 φ ∘ E ∘ φ = φ 를 만족하는 어떤 E:S→R 가 존재할 때와, 동등하게 φ E u_S = u_S (단위 사상과의 관계)일 때 φ*가 반분리함수가 됨을 보인다. 단위 객체 1이 왼쪽 텐서 생성자일 경우, 반분리성은 위 두 조건과 동치이며, 이는 기존의 분리가능성(φ가 split‑epi이고 E 가 섹션인 경우)보다 약한 조건임을 의미한다.

증명은 라파엘 정리와 자연 변환 ν:φ_* φ_*⇒Id_{C_R} 을 구성함으로써 진행된다. 여기서 ν_M = Υ_M ∘ \tilde{E} (정의 2.2의 동등자와 코이퀄라이저를 이용)로 정의하고, η ∘ ν ∘ η = η 임을 직접 계산한다. 반대로, 반분리성을 가정하면 단위 객체가 생성자이므로 ν 으로부터 E 를 복원하고, φ E φ = φ 임을 확인한다.

다음으로 코유도함수 ψ_* = –□C D (코이퀄라이저를 이용한 코텐서) 에 대해 유사한 정리를 얻는다(정리 4.4). 여기서는 ψ가 D‑바이코모듈 사상으로 정규일 때, 즉 ψ ∘ χ ∘ ψ = ψ 인 χ:D→C 가 존재하면 ψ*가 반분리함수가 된다. 단위 객체가 왼쪽 텐서 코생성자(코제너레이터)일 경우 필요조건도 성립한다.

섹션 3.4와 4.4에서는 렉스(강) 모노이달 함수를 적용했을 때 반분리성이 보존되는 조건을 제시한다. 구체적으로, F:C→D 가 강 모노이달 함수이고 φ:R→S 가 C‑내 대사상일 때, F(φ):F(R)→F(S) 에 대한 유도함수는 원래의 반분리성을 그대로 유지한다(명제 3.24‑3.29).

마지막으로 듀오이달 범주 (C,∘,·) 에서 두 대사상 f₁,f₂ 의 텐서 곱 f₁·f₂ 에 대한 유도함수 (f₁·f₂)_* 가 반분리, 분리, 혹은 자연적으로 전사임을 보이는 결과를 제시한다(명제 5.2). 이는 모노이달 범주에 유한 곱이 존재하거나, 전제 브레이드 구조가 있을 때 적용 가능하며, 구체적인 예시로 집합, 행렬, 바이모듈 범주 등을 든다. 전체적으로 논문은 반분리성이라는 개념을 대수·코알제브라 구조와 텐서 연산 사이에 체계적으로 연결함으로써, 기존의 분리가능성 이론을 크게 일반화하고, 다양한 범주론적 상황에서 활용 가능한 도구를 제공한다.