불일치 교란을 고려한 입력‑상태 안전 백스테핑 제어

초록

본 논문은 제어 입력과 직접 매칭되지 않는(불일치) 교란이 존재하는 비선형 시스템에 대해, 최적 감쇠 제어장벽함수(OD‑CBF)를 활용한 입력‑상태 안전(ISSf) 프레임워크를 일반화하고, 백스테핑 기법을 통해 엄격 피드백 및 이중 상대 차수 시스템에 적용 가능한 ISSf‑CBF를 체계적으로 구성하는 방법을 제시한다. 이론적 결과는 역진자와 평면 쿼드로터 시뮬레이션을 통해 검증된다.

상세 분석

이 논문은 기존의 입력‑상태 안전(ISSf) 이론이 매칭 교란에 대해서는 비교적 간단히 적용될 수 있으나, 제어 입력과 독립적인 불일치 교란(unmatched disturbances)에서는 CBF 조건을 만족시키기가 매우 까다롭다는 점을 지적한다. 이를 해결하기 위해 저자들은 두 가지 주요 아이디어를 도입한다. 첫 번째는 교란 입력 매트릭스 w(x)를 명시적으로 포함한 일반화된 시스템 모델 (\dot x = f(x)+g(x)u+w(x)d)을 사용함으로써, 교란이 시스템에 미치는 방향을 정확히 기술한다. 두 번째는 최근 제안된 최적 감쇠 제어장벽함수(Optimal Decay CBF, OD‑CBF)의 개념을 ISSf 환경에 확장한 OD‑ISSf‑CBF이다. OD‑ISSf‑CBF는 기존 CBF 조건에 스칼라 변수 ω (≥ θ_d)를 도입해 α(h(x))를 스케일링함으로써, “제어 입력이 사라지는” (L_g h(x)=0) 상태에서도 보다 유연하게 장벽 조건을 만족시킬 수 있게 한다. 특히, 검증 조건이 (L_f h(x)+θ_d α(h(x)) > \frac{1}{ε}|L_w h(x)|^2) 와 같이 단순화되어, 교란이 매칭될 경우 (L_w h = L_g h ϕ) 이므로 기존 OD‑CBF와 동일하게 다룰 수 있다.

이론적 기반 위에 저자들은 백스테핑(backstepping) 절차를 두 시스템 클래스에 적용한다. 첫 번째 클래스인 엄격 피드백(strict‑feedback) 시스템은 전통적인 백스테핑 설계와 동일한 구조를 가지지만, 각 단계에서 OD‑ISSf‑CBF를 구성하도록 수정한다. 이를 통해 각 서브시스템마다 적절한 θ_d 와 ε 값을 선택하고, 최종적으로 전체 시스템에 대한 안전 장벽함수를 얻는다. 두 번째 클래스인 이중 상대 차수(dual‑relative‑degree) 시스템은 미분가능 평탄성(differential flatness)과 유사한 구조를 가지며, 상태 변환을 통해 “플랫 출력”을 정의하고, 그 출력에 대한 OD‑ISSf‑CBF를 설계한다. 이 과정에서 역전파(backward propagation)와 전방 전파(forward propagation) 단계가 교차하며, 각 단계마다 제어 입력과 ω를 동시에 최적화하는 QP(Quadratic Program)를 풀어 안전성을 유지한다.

안전성 보장은 두 가지 주요 정리로 제시된다. 정리 1은 OD‑ISSf‑CBF와 제어‑QP가 주어졌을 때, 교란 크기 (|d|{\infty}) 가 (-2θ_d α(-b)/ε) 보다 작으면 원래 안전 집합 S가 ISSf 특성을 갖는다고 증명한다. 여기서 γ(δ)=−α^{-1}(−εδ^2/(2θ_d)) 는 교란에 따른 안전 집합의 팽창 정도를 정량화한다. 정리 2는 ( \inf{x∈∂S}|L_w h(x)| > ε|d|_{\infty}) 조건이 만족될 경우, 원본 집합 S 자체가 전진 불변임을 보인다. 이러한 결과는 매칭 교란이 아닌 경우에도, w(x) 가 제어 입력과 겹치지 않더라도 OD‑CBF의 스케일링 변수 ω 가 충분히 큰 값을 제공하면 안전성을 확보할 수 있음을 의미한다.

시뮬레이션에서는 역진자와 평면 쿼드로터를 대상으로, 불일치 교란(예: 외부 풍력, 토크 교란) 하에서 제안된 백스테핑‑OD‑ISSf‑CBF 제어기가 기존의 강인 CBF나 적응 CBF 대비 더 작은 제어 입력으로 안전 경계를 유지함을 보여준다. 특히, 쿼드로터의 경우 dual‑relative‑degree 구조를 활용해 플랫 출력(위치와 요각) 기반으로 장벽함수를 설계했으며, 교란이 급격히 변해도 시스템이 안전 영역을 벗어나지 않는 것이 확인되었다.

전반적으로 이 논문은 불일치 교란을 다루는 안전‑제어 분야에 새로운 도구를 제공한다. OD‑ISSf‑CBF라는 스칼라 스케일링 메커니즘을 도입함으로써, 기존 CBF 검증의 보수성을 크게 완화하고, 백스테핑 절차와 결합해 실용적인 시스템 클래스에 적용 가능하도록 만든 점이 가장 큰 공헌이다. 다만, ω 의 최소값 θ_d 와 ε 의 선택이 시스템마다 민감하게 달라질 수 있으며, 실제 구현 시 실시간 QP 해결 비용이 증가할 가능성이 있다는 점은 향후 연구 과제로 남는다.