랜드우 시겔 영점 부재를 10의 10제곱까지 검증한 새로운 알고리즘

초록

본 논문은 10^10 이하의 모든 정수 모듈러 q에 대해, 이차 디리클레 문자 χ에 대한 L함수 L(s,χ)가 실수 구간 σ≥1−1/(5 log q)에서 영점을 갖지 않음을 전산적으로 확인한다. 기존 연구보다 66배에서 2만5천배까지 검증 범위를 확대했으며, 새로운 알고리즘은 영점 존재 가정 하에 도출된 명시적 부등식을 이용해 소수 합을 계산함으로써 효율성을 높인다. 또한 L(1,χ)≥1/(8 log q)라는 하한도 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 고전적인 영점 자유 영역인 σ≥1−c log q (c>0)에서의 존재 가능한 예외 영점, 즉 랜드우‑시겔 영점에 대한 이론적 배경을 정리한다. 기존에 McCurley가 제시한 c=1/10의 명시적 상수와 Kadiri가 q≤4·10^5에 대해 개선한 결과를 인용하면서, 저자들은 c=1/5를 목표로 하는 새로운 검증 목표를 설정한다. 핵심은 정리 2.1에서 제시된 명시적 부등식이다. 이는 L(s,χ)가 실수 영점 β₁∈(0,1)를 가진다고 가정하고, 로그 미분 −L′/L(σ,χ)를 소수에 대한 가중 합으로 표현한다. 구체적으로 \