평면 그래프의 강한 홀수 색채수에 관한 추측

초록

본 논문은 평면 그래프에 대한 강한 홀수 색채수(Strong Odd Chromatic Number)의 상한 추측을 반증한다. 사이클과 빈 그래프의 조인, 그리고 한 점 합(one‑point union) 연산을 이용해 강한 홀수 색채수를 정확히 계산하고, 이를 바탕으로 χₛₒ(G) ≥ 14인 무한히 많은 평면 그래프 군을 구성한다. 특히 χₛₒ(G)=17인 평면 그래프를 제시하며, 기존에 제시된 13‑색상 상한이 잘못됐음을 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 강한 홀수 색채(strong odd coloring)의 정의를 명확히 한다. 이는 일반적인 정점 색채가 각 정점 v와 모든 색 c에 대해, c가 v의 이웃에 나타나는 횟수가 홀수이거나 전혀 나타나지 않아야 함을 의미한다. 강한 홀수 색채수 χₛₒ(G)는 이러한 색채를 만족하는 최소 색 수이다. 기존 연구에서는 평면 그래프가 13색으로 강한 홀수 색채가 가능하다는 추측이 제시되었지만, 본 논문은 이를 반증한다.

핵심 아이디어는 두 가지 그래프 연산을 활용하는 것이다. 첫 번째는 사이클 Cₙ과 빈 그래프 Kₘ의 조인 G = Cₙ ∨ Kₘ이다. 여기서 관찰 1·2를 통해 조인 그래프에서 사이클 부분의 색은 반드시 홀수 색 클래스여야 하며, 사이클 내부는 2‑거리 색채와 동일한 제약을 받는다. 이를 바탕으로 정리 1에서는 휠 그래프 Wₙ = Cₙ ∨ K₁의 강한 홀수 색채수를 n의 모듈로 6에 따라 4~7 사이의 값으로 정확히 구한다. 증명은 색 사용 횟수의 상한 ⌊n/3⌋와 색 클래스의 홀짝성을 결합해 최소 색 수를 추론한다.

두 번째 연산은 한 점 합(one‑point union)이다. 정의에 따라 Iₓ(G₁,…,G_k)에서 공통 정점 x를 식별한다. 정리 3에서는 Gₙ = Cₙ ∨ K₂를 이용해 두 그래프 Gₘ, Gₙ을 y 정점에서 한 점 합한 그래프 I_y(Gₘ,Gₙ)의 강한 홀수 색채수를 χₛₒ(Wₘ)+χₛₒ(Wₙ)−1 로 정확히 계산한다. 핵심은 합친 정점 y의 이웃이 두 사이클 부분을 모두 포함하므로, 각 사이클에서 사용된 색이 서로 겹치지 않아야 한다는 점이다. 따라서 색 수는 두 휠 그래프의 색 수 합에서 공통 정점 y의 색을 하나 빼는 형태가 된다.

정리 3을 이용해 구체적인 파라미터 (예: m=7, n=15 등)를 선택하면 χₛₒ값이 14, 15, 16, 17 등 13을 초과하는 값을 얻는다. 특히 I_y(G₈,G₈) 은 χₛₒ=17인 평면 그래프를 제공한다(그림 2). 이러한 그래프들은 모두 평면성을 유지하므로, 기존의 “모든 평면 그래프는 13색으로 강한 홀수 색채가 가능하다”는 추측을 무한히 많은 반례가 존재함을 증명한다.

논문은 또한 강한 홀수 색채수에 대한 일반적인 상한 문제를 제기한다. 현재 알려진 상한은 388(문헌