행렬 방정식 AXB C 해결을 위한 결정적·확률적 카치즈 메소드와 색상 이미지 복원 응용

초록

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본 논문은 일관된 행렬 방정식 AXB=C 를 풀기 위해 블록 카치즈(BK) 방법을 제안하고, 이를 기반으로 그리디 확률적 블록 카치즈(GRBK), 완화형 그리디 블록 카치즈(RGRBK), 그리고 최대 가중 잔차 블록 카치즈(MWRBK) 등 네 가지 변형을 설계한다. 각 알고리즘의 수렴성을 엄밀히 증명하고, 수치 실험을 통해 이론적 결과를 검증한다. 특히 색상 이미지 복원 문제에 적용하여 기존 방법 대비 빠른 수렴과 높은 복원 품질을 보인다.

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상세 분석

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이 논문은 기존의 Kaczmarz 계열 알고리즘을 행렬 방정식 AX B = C 에 직접 적용할 수 있도록 확장한다는 점에서 의미가 크다. 먼저, 행 A의 한 행만을 이용해 X 를 갱신하는 블록 Kaczmarz(BK) 방법을 제시한다. BK는 순환적인 행 선택을 사용하므로 구현이 간단하고, A와 B가 각각 전열(full column) 혹은 전행(full row)인 경우에 대해 행 전체를 한 번 순회하는 ‘스윕’에 대한 명시적 행렬식 표현을 도출한다. 이때 QR 분해를 이용해 B의 전열성을 활용하고, 전행성인 경우에는 전치와 유사한 형태로 변형한다. 이러한 구조적 가정 하에, BK는 초기값 X₀ 에 대해 최소노름 해 X* = A⁺ C B⁺ 로 수렴함을 보인다.

다음으로, 무작위 행 선택을 가중 잔차에 기반해 수행하는 Greedy Randomized Block Kaczmarz(GRBK)를 설계한다. GRBK는 Strohmer‑Vershynin의 확률적 Kaczmarz와 Bai‑Wu의 그리디 선택을 결합해, 큰 가중 잔차를 가진 행을 높은 확률로 선택한다. 이때 선택 확률은 ‖A_i‖² 와 현재 잔차 ‖C_i − A_i X B‖² 의 곱에 비례한다. 논문은 GRBK가 기대값 기준으로 최소노름 해에 선형 수렴함을 증명하고, 수렴 계수 δ 가 기존 RBK보다 절대값이 작아 더 빠른 수렴을 보인다고 제시한다.

RGRBK는 GRBK에 완화 파라미터 θ∈