가우시안 혼합의 총변동과 헬링거 거리 사이의 날카로운 부등식

초록

본 논문은 가우시안 위치 혼합 모델에서 두 혼합분포의 총변동(TV) 거리와 헬링거(Hellinger) 거리 사이의 관계를 정밀하게 규명한다. 저자들은 TV 거리를 작은 값으로 만들면 헬링거 거리는 TV 거리의 1‑o(1) 거듭제곱으로 제한된다는 상한을 제시하고, 로그‑로그 항을 포함한 지수적 보정을 통해 이 경계가 최적임을 보여준다. 또한 이러한 부등식은 강건 추정 및 경험적 베이즈의 최소 손실 분석에 직접적인 응용을 제공한다.

상세 분석

논문은 먼저 가우시안 위치 혼합 (f_{\pi}(x)=\int \phi_{d}(x-\theta),d\pi(\theta)) 와 (f_{\eta}) 에 대해, 두 혼합분포의 총변동 거리 (TV(f_{\pi},f_{\eta})) 와 헬링거 거리 (H(f_{\pi},f_{\eta})) 사이의 일반적인 부등식 (H^{2}\le TV\le \sqrt{2}H) 이 너무 느슨함을 지적한다. 이를 개선하기 위해 저자들은 (\alpha(t)=2+\delta\log(\log(1/t)\vee e)) 라는 함수와 함께
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