수학적 나무와 소수: 마툴라 아보리피케이션을 통한 뫼비우스·리우빌리 함수 부분합 연구

초록

마툴라가 제시한 자연수와 뿌리 있는 트리 사이의 일대일 대응을 이용해, 뫼비우스와 리우빌리 함수의 부분합 M(n), L(n) 을 새로운 트리‑연산(버처 곱, NAP 마그마)으로 쌍을 이루어 절대값 상한을 추정한다. 기존 소수 부등식과 결합해 간단한 상한을 얻지만, 리만 제타 함수에 대한 새로운 정보는 아직 얻지 못한다.

상세 분석

이 논문은 1968년 D. W. Matula가 제안한 “Matula 번호”와 그 역함수인 아보리피케이션 A: ℕ⁺ → F(뿌리 트리 집합)를 재조명한다. A는 재귀적으로 A(pₙ)=B⁺(A(n)) 로 정의되며, 여기서 pₙ은 n번째 소수, B⁺는 모든 트리를 하나의 새로운 뿌리 아래에 붙이는 연산이다. 논문은 이 대응을 단순히 “숫자 ↔ 트리”가 아니라 “숫자 ↔ 트리 숲”으로 확장하고, 숲 위에 버처 곱(Butcher product)과 NAP(비결합 교환) 마그마 구조를 도입한다.

주요 수학적 도구는 다음과 같다.

1. 소수에 대한 기존 부등식 n(log n+log log n−1) ≤ pₙ ≤ n log n+log log n−1+1 (듀사르, 마시아스 등) 을 이용해 pₙ·p_m ≥ p_{nm} (k,l ≥ 14) 와 같은 곱 부등식을 증명한다. 이는 버처 곱이 자연수의 곱보다 크게 작용한다는 사실을 트리 수준에서 해석한다.
2. NAP 마그마 (T, ⊙) 에서 ⊙는 “뿌리 합치기” 연산이며, 이는 소수들의 트리 표현을 통해 자유롭게 결합될 수 있음을 보인다. 특히, 모든 소수는 ⊙-반복을 통해 2(=p₁) 로부터 생성될 수 있어, 소수 집합 P가 NAP 자유 모노이드의 생성원임을 확인한다.
3. 뫼비우스 함수 µ(k)와 리우빌리 함수 λ(k)는 각각 제곱인수 존재 여부와 소인수 개수의 짝수·홀수에 따라 부호가 결정된다. 논문은 “µ(a)+µ(b)=0” 혹은 “λ(a)+λ(b)=0” 인 쌍 {a,b} 를 트리 구조에 따라 구성한다. 구체적으로, A⁻¹가 주는 트리 분해를 이용해 두 수를 같은 “가지” 혹은 “잎”에 배치하면 부호가 반대가 되도록 설계한다.

이러한 쌍짓기 전략을 통해
M(n)=∑{k≤n}µ(k) 와 L(n)=∑{k≤n}λ(k) 에 대해
|M(n)|, |L(n)| ≤ C·√n (또는 더 약한 다항식 상한) 을 얻는다. 실제 계산에서는 n이 수백 정도일 때 이미 |M(n)|, |L(n)| 가 수십 이하로 수렴함을 보여준다. 그러나 이 상한이 리만 가설에 직접적인 영향을 주지는 못한다는 점을 저자는 솔직히 인정한다.

논문의 부록에서는 1~1000까지의 자연수에 대한 Matula 번호와 대응 트리, 그리고 소인수 제곱을 제외한 수들의 “앱파리먼트”(배열) 등을 표로 제공한다. 또한, 소수 생성과 합성에 대한 여러 “뿌리 융합” 예시와, ε₀(첫 불가산 순서수)와 ω(자연수 순서)의 관계를 통한 순서론적 관점도 제시한다.

핵심 기여는 다음과 같다.

• Matula 아보리피케이션을 수론적 부등식과 결합해 새로운 트리‑연산적 시각을 제공.
• NAP 마그마와 버처 곱을 이용해 소수와 일반 자연수 사이의 구조적 관계를 명시화.
• µ와 λ의 부분합을 트리 기반 쌍짓기로 간단히 상한을 추정하는 방법을 제시, 실험적 데이터와 일치함을 확인.

한계점은 상한이 기존의 복잡한 분석적 결과(예: Mertens 정리)보다 강력하지 않으며, 리만 제타 함수의 영점 분포와 직접 연결되지 못한다는 점이다. 저자는 이를 “아보리피케이션이 아직은 호기심 수준”이라 평가하면서, 더 정교한 트리 가중치나 확률적 모델링을 통한 향후 연구 가능성을 제시한다.