특성 2에서 스펙트럼을 잇는 스페인 대수의 교환 다양체

초록

특성 2인 대수적으로 닫힌 체 위에서 $\mathfrak{sp}{2n}$의 교환 다양체와 교환 닐포텐트 다양체가 각각 차원 $\dim\mathfrak{sp}{2n}+2n$, $\dim\mathfrak{sp}_{2n}+n-1$을 갖는 하나의 불변 연결 성분만을 가진다는 것을 증명한다.

상세 분석

본 논문은 특성 2라는 ‘나쁜’ 특성에서 고전적인 리 대수 $\mathfrak{sp}{2n}$의 교환 다양체 $\mathcal C_2(\mathfrak{sp}{2n})$와 그 닐포텐트 부분 $\mathcal C_2^{\text{nil}}(\mathfrak{sp}{2n})$의 구조를 체계적으로 분석한다. 기존 연구는 주로 좋은 특성(특히 0특성)에서의 가환성 질량을 다루었으며, 나쁜 특성에서는 중앙자 구조가 복잡해져 기존 방법이 바로 적용되지 않는다. 저자는 Liebeck‑Seitz의 결과를 활용해 군 $G=Sp{2n}$의 원소 $e$에 대한 중앙자 $C_G(e)$의 차원을 정확히 파악하고, 이를 바탕으로 리 대수 중앙자 $C_{\mathfrak{sp}{2n}}(e)$의 차원을 추정한다. 핵심은 $e$의 불변분해가 세 종류의 indecomposable 모듈 $V(t)$, $W(t)$, $W^\ell(t)$ 로 이루어진다는 점이다. Lemma 1·2에서는 각각의 경우에 대해 $C{\mathfrak{sp}{2n}}(e)$의 차이를 $C_G(e)$와 비교해 $\Delta(e)=\dim C{\mathfrak{sp}_{2n}}(e)-\dim C_G(e)$ 를 구한다. 중요한 결과는 $\Delta(e)\le n$이며, 등호가 성립하려면 모든 indecomposable가 단일 Jordan 블록 $V(t)$ 형태여야 한다는 점이다. 이는 ‘불일치(discrepancy)’가 최대가 되는 경우가 정규 닐포텐트 원소와 동형임을 의미한다.

다음 단계에서는 교환 다양체의 차원 하한을 구한다. $\varphi:\mathfrak{sp}{2n}\times\mathfrak{sp}{2n}\to\mathfrak{so}_{2n}$, $(x,y)\mapsto