정점·간선 삭제가 일반위치 수에 미치는 다양한 영향

초록

본 논문은 그래프의 총 일반위치수(gpₜ), 외부 일반위치수(gpₒ), 그리고 이중 일반위치수(gp𝒹)가 정점 또는 간선을 제거했을 때 어떻게 변하는지를 체계적으로 조사한다. 정점이 절단점이 아닐 경우 gpₜ(G)−1 ≤ gpₜ(G−x) ≤ gpₜ(G)+deg(x) 를 보이며, 이 경계가 모두 예시로 날카롭게 달성됨을 증명한다. 반면 gpₒ와 gp𝒹는 삭제 전후에 무한히 커지거나 작아질 수 있지만, x가 gpₒ‑집합 혹은 gp𝒹‑집합에 포함될 때는 각각 gpₒ(G)−1 ≤ gpₒ(G−x)와 gp𝒹(G)−1 ≤ gp𝒹(G−x) 라는 하한이 성립한다. 간선 삭제에 대해서는 (i) gpₜ(G)−|Sₑ| ≤ gpₜ(G−e) ≤ gpₜ(G)+2, (ii) gpₒ(G)/2 ≤ gpₒ(G−e) ≤ 2·gpₒ(G), (iii) gp𝒹(G)−gp𝒹(G−e) 가 임의로 크게 될 수 있음을 보이고, 모든 경계가 예시를 통해 날카롭다는 것을 확인한다.

상세 분석

논문은 먼저 일반위치 집합의 구조적 특성을 정리한다. 총 일반위치 집합은 정확히 그래프의 단순 정점 집합 S(G)와 일치한다는 정리(2.2(i))를 이용해 gpₜ(G)=|S(G)|임을 확인한다. 외부 일반위치 집합은 강해결 그래프 G_SR의 클리크 수와 동등하며, 두 정점이 서로 MMD(서로 최대 거리)일 때만 외부 일반위치 집합에 포함될 수 있다(정리 2.2(ii)). 이중 일반위치 집합은 일반위치 집합이면서 그 보완 그래프가 볼록(convex)일 때 성립한다(정리 2.2(iii)). 이러한 성질을 바탕으로 정점 삭제에 대한 상하한을 도출한다.

1. 총 일반위치수(gpₜ)

   • x가 절단점이 아니면 S(G)−{x}⊆S(G−x)임을 보이며, 따라서 gpₜ(G)−1 ≤ gpₜ(G−x) 가 성립한다.
   • 반대로, G−x에서 새롭게 단순이 되는 정점은 x의 이웃이므로, S(G−x)≤S(G)+deg(x) 가 된다.
   • x가 자체가 단순 정점이면, 그 이웃 중 최소 하나는 x 삭제 후 단순이 아니게 되므로 상한이 deg(x)−1 로 강화된다.
   • 별(K₁,ₙ), 완전 이분 그래프 K₂,ₙ, 그리고 간선 하나가 삭제된 완전 그래프 Kₙ−e 등을 이용해 하한·상한 모두가 날카롭게 달성됨을 보인다.

2. 외부 일반위치수(gpₒ)

   • Gₙ (그림 1)과 같은 구조에서 x를 삭제하면 gpₒ가 2배 이상 증가한다. 반대로 팬 그래프 Fₙ에서 중심 정점 x를 삭제하면 gpₒ가 크게 감소한다. 따라서 gpₒ(G−x)는 gpₒ(G)와 비교해 양방향으로 무한히 변할 수 있다.
   • 그러나 x가 어떤 gpₒ‑집합에 포함될 경우, 그 집합에서 x를 제외한 나머지는 여전히 서로 MMD이므로 gpₒ(G−x)≥gpₒ(G)−1 가 성립한다. 별(K₁,ₙ)에서 잎을 삭제한 경우가 이 하한의 날카로운 예시이다.
   • 저자들은 또한 “gpₒ(G−x) ≤ gpₒ(G)+deg(x)” 라는 상한을 추측(Conjecture 3.4)하고, x가 단순 정점일 때는 deg(x)−1 로 강화된 상한을 증명한다(정리 3.5). 이 역시 Kₙ에 부분 연결된 정점 예시를 통해 날카로움을 확인한다.

3. 이중 일반위치수(gp𝒹)

   • 팬 그래프 Fₙ에서 중심 정점 x를 삭제하면 gp𝒹가 크게 감소하고, 반대로 Gₙ에서 x를 삭제하면 gp𝒹가 두 배가 된다. 따라서 gp𝒹(G−x) 역시 양방향으로 무한히 변한다.
   • x가 절단점이 아니면서 gp𝒹‑집합에 포함될 경우, 집합에서 x를 제거한 나머지는 여전히 볼록성(convexity)을 유지하므로 gp𝒹(G−x)≥gp𝒹(G)−1 가 성립한다.
   • 그러나 상한은 존재하지 않는다. 예를 들어, 버섯 그래프 Mₖ에서 중심 정점 x를 삭제하면 gp𝒹가 0이 되지만, 원 그래프에서는 gp𝒹가 k+2 로 크게 남는다(정리 3.6). 이는 gp𝒹(G)만으로 gp𝒹(G−x)를 제한할 수 없음을 보여준다.

4. 간선 삭제

   • 총 일반위치수: Sₑ는 간선 e의 양 끝점에 공통으로 인접한 단순 정점들의 집합이다. Sₑ를 제거하면 단순 정점 수가 |Sₑ| 만큼 감소하므로 하한 gpₜ(G)−|Sₑ| 가 얻어진다. 반대로, e의 양 끝점이 서로 MMD가 아니면 두 정점을 추가할 수 있어 상한 gpₜ(G)+2 가 된다. 별과 완전 이분 그래프를 이용해 두 경계가 모두 날카롭다.
   • 외부 일반위치수: 강해결 그래프 G_SR에서 간선 e를 삭제하면 클리크 수가 최소 절반까지 감소하고, 최대 두 배까지 증가한다는 사실을 이용해 gpₒ(G)/2 ≤ gpₒ(G−e) ≤ 2·gpₒ(G) 를 얻는다. 경계의 날카로움은 경로와 완전 그래프의 조합을 통해 입증한다.
   • 이중 일반위치수: gp𝒹는 일반위치 집합과 그 보완 그래프의 볼록성에 크게 의존한다. 간선 하나를 삭제하면 볼록성이 파괴될 수 있어 gp𝒹(G)−gp𝒹(G−e) 가 임의로 크게 될 수 있음을 예시(버섯 그래프 등)로 보여준다. 상한은 존재하지 않는다.

전반적으로 저자들은 각 일반위치 수에 대해 하한·상한을 정리하고, 예시(별, 완전 이분 그래프, 팬, 버섯 등)를 통해 모든 경계가 날카롭다는 것을 입증한다. 특히, gpₜ는 정점·간선 삭제에 대해 비교적 안정적인 행동을 보이는 반면, gpₒ와 gp𝒹는 구조적 변화에 민감해 크게 변동할 수 있음을 강조한다. 또한, 몇몇 경우에 대한 추측(Conjecture 3.4)과 향후 연구 방향을 제시한다.