두 제곱수와 디오판틴 근사: 1/2‑ε 지수의 정량적 결과

초록

저자들은 두 제곱수로 표현되는 정수에 대해 ‖αn‖ < n^{-(1/2−ε)} 를 만족하는 무한히 많은 n이 존재함을 정량적으로 증명한다. 핵심은 가중 합 S에 대한 정확한 비례식과 이를 이용한 하한을 얻는 것이며, 결과는 γ < 1/2 인 모든 지수에 대해 n = x²+y² 형태의 정수에서 ‖αn‖ < C₁ n^{-γ} 를 만족하는 개수가 X^{1‑γ}·(log log X)^{-C₂} 이상임을 보인다.

상세 분석

본 논문은 “두 제곱수의 합”이라는 매우 희소한 수열 A = {n = x²+y² : x,y∈ℤ}에 대해 디오판틴 근사 ‖αn‖ < n^{-(1/2−ε)} 를 만족하는 원소가 무한히 존재함을 기존 존재론적 결과를 넘어 정량적으로 입증한다. 핵심 정리는 두 개의 테스트 함수 Φ, w와 정수 q, a ( (2a,q)=1 )를 고정하고
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