효율적이고 견고한 블록 순서추가 실험 설계

초록

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본 논문은 순서추가(OofA) 실험에서 이질적 블록을 고려한 설계 방법을 제시한다. 위치 기반 모델과 지표함수(framework)를 확장하여 단어 길이 패턴(word length pattern)을 최소 비왜곡(minimum aberration) 기준으로 채택하고, 직교 라틴 사각형(orthogonal Latin squares)을 활용한 알고리즘으로 설계 탐색을 효율화한다. 시뮬레이션 결과, 제안 설계는 전통적인 완전 블록 설계와 동등한 검정력과 제1종 오류율을 보이며, 혼동과 별칭(aliasing)을 효과적으로 제어한다.

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상세 분석

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이 논문은 기존 OofA 설계가 주로 동질 집단을 전제로 하였던 점을 비판하고, 실제 제조·생물·측정 분야에서 흔히 나타나는 블록(예: 배치, 기기, 환경) 효과를 통합할 필요성을 강조한다. 이를 위해 저자는 먼저 Stokes와 Xu(2022)의 위치 기반(position) 모델을 채택한다. 위치 모델은 각 성분 (Z_j) 가 (1\sim m) 의 순서를 갖는 퍼뮤테이션 공간을 정의하고, 1차·2차 다항식 대비(orthogonal polynomial contrasts) (p_1(z), p_2(z)) 등을 이용해 선형·이차 효과를 표현한다.

다음으로 Cheng과 Ye(2004)의 지표함수(indicator function)를 OofA에 맞게 변형한다. 설계 (D) 내의 모든 순열 (z) 에 대해 다항식 항 (X_t(z)=\prod_{j=1}^m p_{t_j}(z_j)) 를 정의하고, 각 항의 계수 (a_t=\frac{1}{m,n}\sum_{z\in D}X_t(z)) 를 통해 평균과 효과 사이의 별칭 정도를 정량화한다. 계수 (a_t) 가 0이면 해당 효과는 평균과 완전히 독립이며, (|a_t|)가 클수록 별칭이 심각함을 의미한다.

별칭 정량화는 ‘단어(word)’ 개념으로 확장된다. 단어 (t) 의 길이 (|t|=\sum_j t_j) 는 다항식 차수를 나타내며, 효과 위계 원칙에 따라 낮은 차수의 효과가 더 중요하게 평가된다. 이를 기반으로 ‘단어 길이 패턴(word length pattern, WLP)’ (W=(w_1,\dots,w_{m(m-1)})) 을 정의한다. 여기서 (w_\ell=\sum_{|t|=\ell}(a_t/a_0)^2) 는 차수 (\ell) 에 해당하는 별칭의 총량을 나타낸다. 최소 비왜곡(minimum aberration) 설계는 사전 차수 (w_1,w_2,\dots) 가 사전 설계보다 작거나 같은 경우를 우선 선택한다.

블록 효과를 포함시키기 위해 블록 요인 (B) 을 추가하고, 블록‑성분 교차항을 동일한 다항식 체계에 삽입한다. 이렇게 확장된 지표함수는 블록과 순서 효과 사이의 별칭을 동시에 평가한다.

알고리즘적 기여는 두 가지이다. 첫째, 직교 라틴 사각형(OLS)을 이용해 블록‑성분 조합을 체계적으로 생성한다. OLS는 각 블록 내에서 순서 조합을 균등하게 배분하므로, 탐색 공간을 (m!) 에서 ((m!/b!)) (여기서 (b) 는 블록 크기) 로 크게 축소한다. 둘째, 위에서 정의한 WLP를 목표 함수로 삼아 탐색을 진행한다. 저자는 ‘단어 길이 최소화’를 기준으로 후보 설계들을 평가하고, 필요시 교환·교체 연산을 통해 지역 최적화를 수행한다.

시뮬레이션에서는 (i) 완전 블록 설계, (ii) 제안 알고리즘으로 얻은 부분 블록 설계, (iii) 무작위 블록 설계를 비교한다. 결과는 제안 설계가 0.05 수준에서 제1종 오류를 유지하면서, 80 % 이상의 검정력을 확보함을 보여준다. 또한, 상관 플롯을 통해 블록‑성분, 1차‑2차 효과 사이의 별칭이 현저히 감소했음을 확인한다.

전반적으로 이 연구는 OofA 실험에 블록을 체계적으로 도입하고, 지표함수와 WLP라는 통계적 기준을 통해 설계 품질을 정량화한다는 점에서 혁신적이다. 특히, 직교 라틴 사각형을 활용한 설계 생성 알고리즘은 계산 복잡도를 크게 낮추면서도 최소 비왜곡 설계를 보장한다는 실용적 장점을 제공한다.

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