머센 수 약수의 폭발적 성장

초록

본 논문은 첫 n개의 머센 수 (2^{k}-1) 의 약수 개수 합을 (f(n)=\sum_{k\le n}\tau(2^{k}-1)) 로 정의하고, 두 배 비율 (f(2n)/f(n)) 가 유계가 아님을 증명한다. 또한, “고도로 복합적인” 지수와 사이클로토믹 다항식의 소인수 개수에 관한 두 개의 가정을 전제로 하면 이 비율이 무한대로 발산한다는 조건부 결과와 광범위한 수치 실험을 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 (\tau) 를 약수 개수 함수라 두고, (f(n)=\sum_{k=1}^{n}\tau(2^{k}-1)) 를 연구한다. Erdős가 제기한 “두 배 비율” (f(2n)/f(n)) 가 한계값을 갖는가에 대한 질문에 대해, 저자들은 이 비율이 상한을 갖지 않음을 보인다. 핵심 아이디어는 (\tau(2^{k}-1)) 를 직접 다루기보다 (\tau’(n)=\sum_{k\le n}2\tau(k)) 로 정의한 보조 함수 (\tau’) 를 도입하고, (\tau’(2n)/\tau’(n)) 가 무한대로 발산함을 증명함으로써 원래 비율도 무한히 커짐을 추론한다. 여기서는 “고도로 복합적인”(highly composite) 수의 존재와 그 성장률 (\tau(N)=2(1+o(1))\frac{\log N}{\log\log N}) 를 이용한다.

조건부 결과는 두 가지 가정에 기반한다. 첫 번째는 “고도로 복합적인 머센 수”의 지수 (N) 에 대해 (\tau(2^{N}+1)) 가 (N) 에 대해 충분히 크게 성장한다는 추측(Conjecture 1)이다. 두 번째는 사이클로토믹 다항식 (\Phi_{d}(X)) 를 2에 대입했을 때의 서로 다른 소인수 개수 (\omega(\Phi_{d}(2))) 가 (\le 10\log d) 로 제한된다는 가정(Conjecture 2)이다. 두 가정 중 하나만이라도 성립하면, (f(2n)/f(n)\to\infty) 를 증명한다.

증명 과정에서 Bang–Zsigmondy 정리를 이용해 (2^{k}-1) 이 항상 새로운 소인수를 갖는 점을 활용하고, (\tau(2^{k}-1) > \frac14 2^{\tau(k)}) 와 같은 하한을 얻는다. 또한, 사이클로토믹 다항식의 소인수 구조를 분석해 (\omega(2^{n}-1)\le\sum_{d\mid n}\omega(\Phi_{d}(2))) 라는 관계를 도출한다. 이때 (\Phi_{d}(2)) 의 소인수 개수에 대한 로그 구간 추정이 Conjecture 2 로부터 얻어지며, 확률적 논증을 통해 예외가 유한개에 불과함을 설득한다.

수치 실험에서는 (n\le 1206) 까지의 정확한 (\tau(2^{n}-1)) 값과 (\omega(\Phi_{n}(2))) 값을 이용해 (f(2n)/f(n)) 의 성장 양상을 그래프로 제시한다. 또한, 큰 (n) 에 대해 소인수 분해를 부분적으로 수행하고 Gillies의 근사식을 적용해 (\tau(2^{n}-1)) 를 추정, 이 추정값이 실제와 같은 차수 수준임을 확인한다. 실험 결과는 제시된 가정이 실제 데이터와 일치함을 보여주며, 비율이 점점 커지는 경향을 명확히 드러낸다.

전체적으로 논문은 전통적인 평균적 (\log n) 추정이 머센 수의 약수 구조에 적용되기 어렵다는 점을 강조하고, 고도로 복합적인 지수와 사이클로토믹 다항식이라는 두 축을 통해 새로운 비대칭적 성장 현상을 밝혀낸다.