가중합에서 라데마허 무작위 곱함수의 거의 확실한 상한과 하한

초록

라데마허 무작위 곱함수 f에 대해 가중합 ∑_{n≤x} f(n)/√n 의 거의 확실한 상한을 (log log x)^{3/4+ε}, 하한을 (log log x)^{-1/2} 로 보이고, 가장 큰 소인수가 √x 를 초과하는 정수에 한정하면 (log log x)^{1/4+ε} 로 개선한다. 증명은 Caich·Hardy·Mastrostefano의 마팅게일·Azuma–Hoeffding 기법과 곱적 혼돈 이론을 결합한다.

상세 분석

본 논문은 라데마허 무작위 곱함수 f (소수 p 에 대해 독립적인 Rademacher 변수, 제곱인수가 있으면 0) 에 대해 가중합
M_f(x)=∑{n≤x} f(n)/√n
의 거의 확실한 성장률을 정밀히 분석한다. 기존 연구에서는 무가중합 ∑{n≤x} f(n) 에 대해 거의 확실히 O(x^{1/2+ε}) 를 보였고, Caich와 Harp­er는 무가중합의 상한을 √x·(log log x)^{3/4+ε} 로, 하한을 √x·(log log x)^{1/4−ε} 로 제시했다. 가중합에 대한 연구는 주로 Steinhaus 모델에 국한돼 있었으며, 그 경우는 복소 단위 원 위의 균등분포를 이용해 로그‑상관 장의 법칙(Law of Iterated Logarithm)과 유사한 상한·하한을 얻었다.

라데마허 경우는 두드러진 차이를 보인다. 첫째, Euler 곱
F_y(s)=∏_{p≤y}(1+f(p)p^{-s})
의 크기가 실수축에서 t=0 일 때는 평균이 0이 아니며, 이는 곱적 혼돈(Multiplicative Chaos) 항이 지배적임을 의미한다. 논문은 이 항을 정량화하기 위해 Harp­er의 “Multiplicative Chaos Result 3”와 “Proposition 6”을 활용하고, ∫|F_y(½+σ+it)|^2 dt 형태의 평균을 정밀히 추정한다. 이 과정에서 σ>0 로의 작은 이동이 variance를 급격히 감소시키는 효과를 이용한다.

두 번째 핵심은 마팅게일 차분 기법이다. 저자는 M_f(x) 를
M_f(x)=∑{j} Δ_j, Δ_j=∑{y_{j-1}<p≤y_j} f(p)√p · ∑_{n≤x/p, P(n)<p} f(n)/√n
와 같이 분해하고, 각 Δ_j 를 독립적인 마팅게일 차분으로 본다. 이후 Azuma–Hoeffding 부등식을 적용해 각 차분의 확률적 변동을 제어하고, Borel–Cantelli 보조정리를 통해 거의 확실한 상한을 얻는다. 이때 y_j 를 x^{1/2^j} 형태의 급격히 감소하는 수열로 잡아, 큰 소인수를 가진 항만이 주요 기여를 하도록 설계한다. 결과적으로 (log log x)^{3/4+ε} 라는 상한이 도출된다.

하한은 Hardy의 방법을 변형한다. |M_f(x)|^2 에는 결정적 항
∑_{n≤x} 1/n ≈ log log x
가 존재한다는 점을 이용한다. 이 항을 무시하지 못하고, 대신 큰 소인수 구간 P(n)>√x 에서의 부분합을 따로 분석한다. 그 결과 무한히 많은 x 에 대해 |M_f(x)| ≥ (log log x)^{-1/2} 가 성립함을 보인다. 이는 Steinhaus 경우에 비해 훨씬 약한 하한이지만, 라데마허 모델에서 deterministic 항이 차지하는 비중을 반영한다.

마지막으로, 가장 큰 소인수가 √x 를 초과하는 정수에 한정하면, 위의 마팅게일 분해에서 j=0 항만 남게 된다. 이 경우 variance 가 크게 감소하므로 Azuma–Hoeffding 적용 시 (log log x)^{1/4+ε} 라는 더 강한 상한을 얻는다. 이는 Mastrostefano의 기법을 그대로 적용한 결과이며, 저자는 이를 Theorem 2 로 명시한다.

전체적으로 논문은 라데마허와 Steinhaus 모델 사이의 근본적인 차이를 Euler 곱의 deterministic 성분과 곱적 혼돈의 상대적 크기로 설명하고, 확률론적 마팅게일 도구와 복소해석적 Euler 곱 추정법을 결합해 가중합의 거의 확실한 상·하한을 새롭게 정립한다. 또한, 완전 곱함수 f* 에 대한 corollary 를 통해 ∑_{n≤x} f*(n)/√n 의 상한을 log x·(log log x)^{3/4+ε} 로 얻는다.