확신등가 모델예측제어: 안정성·성능·미래 전망

초록

본 논문은 곱셈형 파라미터 불확실성을 갖는 비선형 시스템에 대해, 명시적인 모델 오차를 고려하지 않는 확신등가 MPC(CE‑MPC)의 안정성 및 무한시간 성능을 이론적으로 분석한다. 새로운 가치함수 섭동 분석을 통해 비용 함수가 Lipschitz 연속성을 가정하지 않아도 되는 일반적인 결과를 도출하고, 예측 호라이즌과 모델 불일치 정도가 안정성 및 최악‑케이스 성능에 미치는 영향을 정량화한다. 또한 선형‑이차(LQ) 시스템에 특화하여 경쟁비(bound)와 최적 호라이즌 선택법을 제시한다.

상세 분석

이 논문은 먼저 시스템 모델 (x_{t+1}=f(x_t,u_t;\theta)) 에 대해 실제 파라미터 (\theta^{})와 설계자가 보유한 명목 파라미터 (\hat\theta) 사이의 차이를 (\delta(\theta)=|\theta^{}-\hat\theta|) 로 정의하고, 불확실성 집합 (\Theta(\hat\theta,\varepsilon_\theta)) 내에서 파라미터가 변동한다고 가정한다. 입력 제약은 평형점 ((0,0)) 에서 비활성화된다고 가정함으로써, 제약이 활성화되는 경우보다 분석을 단순화한다.

핵심 기여는 두 가지이다. 첫째, 기존 연구에서 흔히 요구되는 단계 비용 (\ell(x,u)) 의 Lipschitz 연속성을 포기하고, 대신 비용이 강하게 매끄럽고 강하게 볼록한 (C^2) 함수라는 가정만으로 가치함수 (V_N(x;\hat\theta)) 의 섭동을 정밀히 분석한다. 이를 통해 모델 오차 (\Delta f(x,u;\theta)) 가 가치함수에 미치는 1차·2차 항을 명시적으로 구하고, 섭동 상수 (\beta(N,\varepsilon_\theta)) 를 도출한다.

둘째, 이 섭동 결과를 바탕으로 CE‑MPC의 안정성 조건과 무한시간 성능 하한을 제시한다. 구체적으로, (|\theta^{}-\hat\theta|\le\varepsilon_\theta) 가 충분히 작고 예측 호라이즌 (N) 가 일정 기준을 초과하면, 실제 시스템은 명목 시스템과 동일한 전역 수렴 영역 (X_{\text{ROA}}) 내에서 수렴한다. 또한, 최적 무한시간 제어기(oracle) (u^{\star}_{\infty}(\cdot;\theta^{})) 와 비교했을 때, CE‑MPC가 달성하는 비용은
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