불확실 동역학 최적 제어를 위한 앙상블 샘플 평균 접근법의 수렴률

초록

본 논문은 불확실 입력을 갖는 비선형 ODE 기반 최적 제어 문제를 샘플 평균 근사(SAA)로 변환하고, 앙상블 형태의 결정론적 시스템을 풀어 얻은 해의 평균 수렴률을 비대칭적(비점근적)으로 제시한다. 메트릭 엔트로피와 서브가우시안 과정 이론을 활용해 최적값과 임계점에 대한 O(N⁻¹ᐟ²) 수렴율을 증명하고, 조화 진동자와 전염병 백신 스케줄링 사례를 통해 이론을 검증한다.

상세 분석

이 연구는 불확실성을 확률 변수 ξ 로 모델링한 비선형 동역학 시스템
(\dot x(t,\xi)=f_0(x(t,\xi),\xi)+f_1(x(t,\xi),\xi)u(t))
에 대해, 기대값 최소화 형태의 위험 중립 최적 제어 문제를 설정한다. 핵심 아이디어는 독립적인 표본 ({\xi_i}_{i=1}^N)을 이용해 기대값을 샘플 평균으로 대체함으로써, N개의 결정론적 ODE가 결합된 앙상블 최적화 문제(3)를 얻는 것이다. 이때 제어 변수 u는 L²(0,1;ℝ^m) 공간에 속하고, 정규화 항 ψ는 강한 볼록성(파라미터 α>0)을 갖는다.

논문은 네 가지 주요 기여를 제시한다. (a) 최적값의 평균 수렴률을
(\mathbb{E}