결정‑중심 최적수송: 확률선형 최적화의 새로운 거리 측정

초록

본 논문은 확률선형 최적화에서 목적계수의 분포 차이가 최적해와 목표값에 미치는 영향을 직접 반영하는 ‘결정‑중심(Decision‑Focused, DF) 발산’이라는 새로운 거리 개념을 제안한다. DF 거리의 낙관적, 강인적, 엔트로피 정규화 버전을 정의하고, 기존의 KL·TV·Wasserstein 거리와의 이론적 관계를 밝히며, W₂ 형태로 변환 가능한 효율적인 계산 방법과 차원에 독립적인 샘플 복잡도 결과를 제공한다. 또한 의료 데이터와 뉴스벤더 문제를 통해 DF 거리 기반 보간과 위험 평가의 실용성을 입증한다.

상세 분석

이 논문은 확률선형 최적화 문제, 즉 목적계수가 확률변수 c ∈ℝᵈ 로 주어지고 최적화 모델이 min cᵀx subject to Ax≤b 와 같이 정의되는 상황을 전제로 한다. 전통적인 확률분포 거리(총변동, KL, Wasserstein)는 모두 ‘분포 자체’만을 비교하지만, 최적화 관점에서는 중요한 것은 두 분포가 동일한 최적해를 초래하는가, 혹은 목표값 차이가 얼마나 되는가이다. 특히, 목적계수의 작은 변동이 최적해 경계(예: 기본 해집합의 전환)를 넘어서면 목표값 차이가 급격히 커지는 비선형 현상이 발생한다. 따라서 분포 간의 ‘커플링’—즉, 두 분포를 연결하는 운송 계획 π—이 결정에 미치는 영향을 정량화해야 한다.

논문은 이를 위해 ‘결정‑중심 발산(DF divergence)’을 정의한다. 기본 아이디어는 두 분포 P, Q 에 대해 모든 가능한 커플링 π∈Π(P,Q) 에 대해 최적화 문제의 기대 목표값 차이를 계산하고, 그 중 최소(낙관적) 혹은 최대(강인적) 값을 거리로 채택하는 것이다. 수식적으로는
 DF_opt(P,Q)= sup_{c∼P, c’∼Q, π} E_{π}