공간‑시간 LATIN‑PGD 기반 뉴턴 압축성 유동 해석기

초록

본 논문은 뉴턴식 압축성 라미나 유동을 대상으로, LATIN‑PGD 해석기를 개발·검증한다. 압력‑속도 결합을 LATIN 방식으로 분리하고, PGD를 이용해 속도와 압력(밀도) 필드를 각각 공간‑시간으로 분해한다. 분석적 해를 갖는 문제와 원통 주위 흐름, 3차원 사례에 적용해 기존 문헌과 일치함을 확인하였다.

상세 분석

이 연구는 기존 CFD에서 흔히 사용되는 직접 결합(pressure‑velocity) 방식이 초래하는 대규모 행렬 연산 비용을 회피하기 위해, LATIN (LArge Time INcrement) 방법과 Proper Generalised Decomposition(PGD)을 결합한 새로운 솔버 구조를 제안한다. 먼저 연속성 방정식과 운동량 방정식을 각각 두 개의 서브시스템 A_d와 Θ 로 분리한다. A_d는 선형·전역적인 연산(예: 연속성 방정식의 미분 연산, 경계조건 적용)으로 구성하고, Θ는 물성식(점성, 압력‑밀도 관계)과 같은 비선형·국부적인 관계를 포함한다. 이 두 서브시스템 사이를 H⁺와 H⁻라는 검색 방향(search direction)으로 연결하는 이중 반복 알고리즘을 채택한다. H⁺와 H⁻는 물성 텐서 M, 특성 길이 L_c, 최종 시간 T 등 물리적 스케일에 기반해 최적화되며, 이는 수렴 속도를 크게 향상시킨다.

PGD의 핵심은 해를 다중 변수(공간, 시간) 각각에 대한 저차원 텐서 곱 형태로 전개하는 것이다. 여기서는 속도와 압력(밀도)을 각각 독립적인 공간‑시간 분해 형태로 표현한다. 즉, v(x,t)≈∑_i φ_i(x)ψ_i(t), p(x,t)≈∑_j α_j(x)β_j(t)와 같은 형태이며, 각 모드는 LATIN 반복 과정에서 순차적으로 추가·갱신된다. 이 접근법은 전통적인 시간 적분(예: 백워드 오일러)과 달리 전체 시공간 영역을 한 번에 다루므로, 시간 단계 간의 전파 오류가 누적되지 않는다.

수치 구현 측면에서는 2차원에서는 Quad4/Quad9, 3차원에서는 Hex8/Hex27와 같은 고차 연속 요소를 사용해 공간을 이산화한다. 시간은 N_t개의 구간으로 나누고, 백워드 오일러 스킴을 기본으로 하되, Θ 단계에서 비선형 항(대류항)은 라미나 흐름 가정 하에 무시하거나 뉴턴‑라프슨을 통해 해결한다. 초기화 단계에서는 A_d에 속하는 변수(밀도, 속도)와 그 기울기(Z, ε 등)를 초기 추정값으로 설정한다. 이후 반복 과정에서 각 적분점마다 독립적인 로컬 방정식(Θ 단계)을 풀어 물성 관계를 만족시키고, 전역 방정식(A_d 단계)에서는 연속성·운동량을 전역적으로 보강한다.

검증 사례로는 (1) 선형 온도·압력 구배가 존재하는 1‑D 압축성 흐름(해석 해 존재)과 (2) 원통 주위 흐름(전형적인 K‑ε 기반 레퍼런스와 비교) 및 (3) 3‑D 복합 형상(예: 구멍이 있는 박스) 등을 제시한다. 모든 사례에서 속도·압력 프로파일, 전단 응력, 질량 보존 오차 등이 기존 문헌 결과와 높은 일치를 보였으며, 특히 PGD 모드 수가 5~10개 수준에서도 오차가 1 % 이하로 수렴한다는 점이 강조된다.

결과적으로, LATIN‑PGD 프레임워크는 (i) 비선형 압축성 Navier‑Stokes 방정식의 전역·국부 연산을 명확히 분리함으로써 메모리·연산 비용을 크게 절감하고, (ii) 공간‑시간 전역 해를 한 번에 얻어 시간 적분 오류를 최소화하며, (iii) 물성식 교체가 용이해 향후 복합 재료·비등온·다상 흐름 등 복잡한 물리 모델에도 확장 가능함을 입증한다.