쉽게 구현하는 SSH 모델: 전기 회로에서 위상 보호 국소 모드

초록

본 논문은 Su‑Schrieffer‑Heeger(SSH) 모델을 전기 회로로 구현하여 위상 보호 에지 모드를 직접 관찰한다. 두 종류의 인덕터와 동일한 커패시터를 이용한 1차원 전송 라인을 설계하고, 이론적 밴드 구조와 winding number를 분석한다. 실험에서는 10개의 커패시터와 두 종류의 인덕터로 구성된 5개의 단위 셀을 사용해 주파수 스윕 측정을 수행했으며, 이론과 일치하는 에지 모드가 확인되었다.

상세 분석

SSH 모델은 두 개의 서로 다른 결합 상수 v와 w 를 갖는 1차원 이중 격자를 기반으로 하며, 양자화된 파동수 k 에 대한 2×2 해밀토니안 H(k) 의 고유값이 밴드 구조를 만든다. v 와 w 가 교환될 때 밴드 구조는 대칭적으로 보이지만, 복소 평면에서 h(k)=v+we^{-ik} 가 그리는 원이 원점을 포함하느냐에 따라 위상적 차이가 발생한다. 원점 포함( v<w )이면 winding number = 1 이며, 이는 비트리비얼 위상으로 에지 모드가 존재함을 의미한다. 반대로 v>w 이면 winding number = 0 으로 에지 모드는 사라진다.

전기 회로 구현에서는 각 사이트를 전압 a_n, b_n 으로 나타내고, 인덕터 L₁, L₂ 와 커패시터 C 를 이용해 결합 상수 v=1/(L₁C), w=1/(L₂C) 를 정의한다. Kirchhoff 법칙을 적용하면 연속적인 미분 방정식이 얻어지고, 이를 고유값 문제 H · v=Ω² v 로 변환한다. 이때 Ω 는 회로의 공진 주파수이며, 이론적으로 Ω²=v+w ±√(v²+w²+2vw cos k) 가 된다.

위상 전이점 v=w 에서는 밴드 갭이 닫히고 시스템이 절연체에서 금속으로 변한다. 유한한 체인(양 끝이 개방된 경우)에서는 추가 인덕터 L₂ 를 접지에 연결해 경계 조건을 맞추고, 해밀토니안 H 의 고유벡터를 직접 계산한다. v<w 일 때는 두 개의 제로 모드(λ=0)가 나타나며, 이는 각각 왼쪽과 오른쪽 끝에 국소화된 에지 모드에 대응한다. 이러한 모드는 chiral symmetry Γ (서브격자 B 값을 부호 반전)과 연관되어, 파라미터 변동에도 고유 주파수가 변하지 않는 강인성을 보인다.

실험에서는 L₁=1 mH, L₁=0.470 mH, L₂=0.1 mH, C=1 nF 를 사용해 두 가지 결합 비율을 구현하였다. 드라이버 커패시터 C_d=40 pF 와 함수 발생기로 한쪽 끝을 sinusoidal하게 구동하고, 16채널 DAQ로 전압을 측정한다. 스펙트럼에서 f≈511 kHz (이론값 ≈554 kHz)에서 강한 응답이 관찰되며, 이는 에지 모드에 해당한다. 파라시틱 인덕턴스와 커패시턴스, 측정 회로의 작은 비선형성 때문에 약간의 주파수 이동이 발생한다. 반대 결합 비율(v>w)에서는 에지 모드가 사라지고, 전형적인 acoustic 및 optical 밴드만이 나타난다. 실험 결과는 수치 대각화와 이론적 예측과 높은 일치를 보이며, 위상 보호 모드의 존재와 강인성을 실증한다.

본 연구는 저비용 전자 부품만으로 SSH 위상 모델을 구현하고, 직접적인 공간 프로파일을 측정할 수 있음을 보여준다. 또한, 장거리 결합을 도입해 SSH 모델을 확장한 새로운 위상 단계도 제시했으며, 이러한 확장은 향후 전자·광학 메타물질 설계에 활용될 가능성을 시사한다.