1····1 A 1···· 형태의 유한 q‑다중조화합 새로운 식

초록

본 논문은 지수 A가 3 이상인 경우의 “1····1, A, 1····1” 인덱스를 갖는 유한 q‑다중조화합의 명시적 다항식 표현을 제시한다. 기존에 A=1·2에 대해서만 알려졌던 결과를 일반화하고, 퇴화 베르누이 수와 대칭함수 이론을 활용해 일반식과 특수식들을 도출한다.

상세 분석

이 연구는 q‑다중조화합 Zₙ(q; s₁,…,s_m)=∑{1≤i₁<…<i_m≤n‑1}∏{k=1}^m(1−q^{i_k})^{−s_k} 를 시작점으로 한다. 기존 문헌에서는 모든 지수가 동일하거나 A=1, 2인 경우에 한해 닫힌 형태가 알려져 있었다. 저자들은 먼저 u_r:=1/(1−ζ_r n) (ζ_r n은 n번째 원시 1차 단위근) 를 도입하고, P(A,j)m(n)=∑{1≤i₁<…<i_m≤n‑1}u_{i₁}…u_{i_{j‑1}} u_A u_{i_{j+1}}…u_{i_m} 로 정의한다. 이때 평균값 Q(A)m(n)=1/m∑{j=1}^m P(A,j)m(n) 를 이용해 대칭함수 e_k와 e_k(A)와의 관계식(7)을 얻는다. 식(7)은 e{A‑1,1}·e_m을 P(A‑1,j)와 P(A,j)의 선형 결합으로 전개함으로써, 복잡한 다중합을 보다 간단한 대칭함수와 연결한다.

주요 결과는 두 단계로 전개된다. 첫 번째 단계에서는 A=2,3,4,5에 대해 구체적인 다항식 형태를 전개한다. 예를 들어 A=3일 때
∑_{j=1}^m Zₙ(ζ_n; 1,…,1, 3, 1,…,1)=
−(n−1)(n−5)/12·C(n−1,m)+ (m+1)(n−2m−5)/